Theorem xpsff1o2 12789

Description: The function appearing in xpsval 12790 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2o = { (/) , 1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsff1o2	|- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsff1o2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
2	1	xpsff1o 12787	. 2 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B )
3		f1of1 5472	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -1-1-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) )
4		f1f1orn 5484	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F )
5	2, 3, 4	mp2b 8	1 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F

Syntax hints:   = wceq 1363   (/)c0 3434   ifcif 3546   {cpr 3605   <.cop 3607   X. cxp 4636   ran crn 4639   -1-1->wf1 5225   -1-1-onto->wf1o 5227   e. cmpo 5890   1oc1o 6424   2oc2o 6425   X_cixp 6712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-1o 6431  df-2o 6432  df-er 6549  df-ixp 6713  df-en 6755  df-fin 6757

This theorem is referenced by: (None)