Theorem xpsff1o2 13615

Description: The function appearing in xpsval 14143 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2o = { (/) , 1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsff1o2	|- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsff1o2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
2	1	xpsff1o 13613	. 2 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B )
3		f1of1 5618	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -1-1-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) )
4		f1f1orn 5630	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F )
5	2, 3, 4	mp2b 8	1 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F

Syntax hints:   = wceq 1398   (/)c0 3512   ifcif 3624   {cpr 3695   <.cop 3697   X. cxp 4752   ran crn 4755   -1-1->wf1 5354   -1-1-onto->wf1o 5356   e. cmpo 6060   1oc1o 6653   2oc2o 6654   X_cixp 6946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-ixp 6947  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by: (None)