Theorem xpsff1o2 13433

Description: The function appearing in xpsval 13434 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2o = { (/) , 1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsff1o2	|- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsff1o2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
2	1	xpsff1o 13431	. 2 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B )
3		f1of1 5582	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -1-1-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) )
4		f1f1orn 5594	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F )
5	2, 3, 4	mp2b 8	1 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F

Syntax hints:   = wceq 1397   (/)c0 3494   ifcif 3605   {cpr 3670   <.cop 3672   X. cxp 4723   ran crn 4726   -1-1->wf1 5323   -1-1-onto->wf1o 5325   e. cmpo 6019   1oc1o 6574   2oc2o 6575   X_cixp 6866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-ixp 6867  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by: (None)