Theorem xpsff1o2 13399

Description: The function appearing in xpsval 13400 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2o = { (/) , 1o }. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )

Assertion

Ref	Expression
xpsff1o2	|- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpsff1o2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
2	1	xpsff1o 13397	. 2 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B )
3		f1of1 5573	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -1-1-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) )
4		f1f1orn 5585	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-> X_ k e. 2o if ( k = (/) , A , B ) -> F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F )
5	2, 3, 4	mp2b 8	1 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ran F

Syntax hints:   = wceq 1395   (/)c0 3491   ifcif 3602   {cpr 3667   <.cop 3669   X. cxp 4717   ran crn 4720   -1-1->wf1 5315   -1-1-onto->wf1o 5317   e. cmpo 6009   1oc1o 6561   2oc2o 6562   X_cixp 6853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-ixp 6854  df-en 6896  df-fin 6898

This theorem is referenced by: (None)