ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgidm GIF version
Theorem tgidm 13544
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜π΅))
Proof of Theorem tgidm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgvalex 12711 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ V)
2 eltg3 13527 . . . . 5 ((topGenβ€˜π΅) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
31, 2syl 14 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
4 uniiun 3940 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
65sselda 3155 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅))
7 eltg4i 13525 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝑧 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
98iuneq2dv 3907 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
104, 9eqtrid 2222 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
11 iuncom4 3893 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧)
1210, 11eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
13 inss1 3355 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
1413rgenw 2532 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
15 iunss 3927 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡)
1614, 15mpbir 146 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
1716a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡)
18 eltg3i 13526 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGenβ€˜π΅))
1917, 18sylan2 286 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGenβ€˜π΅))
2012, 19eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (topGenβ€˜π΅))
21 eleq1 2240 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2220, 21syl5ibrcom 157 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2322expimpd 363 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2423exlimdv 1819 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
253, 24sylbid 150 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2625ssrdv 3161 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) βŠ† (topGenβ€˜π΅))
27 bastg 13531 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
28 tgss 13533 . . 3 (((topGenβ€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)))
291, 27, 28syl2anc 411 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)))
3026, 29eqssd 3172 1 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜π΅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2737   ∩ cin 3128   βŠ† wss 3129  π’« cpw 3575  βˆͺ cuni 3809  βˆͺ ciun 3886  β€˜cfv 5216  topGenctg 12702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-topgen 12708
This theorem is referenced by:  tgss3  13548  txbasval  13737
  Copyright terms: Public domain W3C validator