ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgidm GIF version
Theorem tgidm 13577
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜π΅))
Proof of Theorem tgidm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgvalex 12712 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ V)
2 eltg3 13560 . . . . 5 ((topGenβ€˜π΅) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
31, 2syl 14 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
4 uniiun 3941 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
65sselda 3156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅))
7 eltg4i 13558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝑧 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
98iuneq2dv 3908 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
104, 9eqtrid 2222 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
11 iuncom4 3894 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧)
1210, 11eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
13 inss1 3356 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
1413rgenw 2532 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
15 iunss 3928 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡)
1614, 15mpbir 146 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
1716a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡)
18 eltg3i 13559 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGenβ€˜π΅))
1917, 18sylan2 286 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGenβ€˜π΅))
2012, 19eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (topGenβ€˜π΅))
21 eleq1 2240 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2220, 21syl5ibrcom 157 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2322expimpd 363 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2423exlimdv 1819 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
253, 24sylbid 150 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2625ssrdv 3162 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) βŠ† (topGenβ€˜π΅))
27 bastg 13564 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
28 tgss 13566 . . 3 (((topGenβ€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)))
291, 27, 28syl2anc 411 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)))
3026, 29eqssd 3173 1 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜π΅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2738   ∩ cin 3129   βŠ† wss 3130  π’« cpw 3576  βˆͺ cuni 3810  βˆͺ ciun 3887  β€˜cfv 5217  topGenctg 12703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-topgen 12709
This theorem is referenced by:  tgss3  13581  txbasval  13770
  Copyright terms: Public domain W3C validator