ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgidm GIF version

Theorem tgidm 13445
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem tgidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgvalex 13421 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)
2 eltg3 13428 . . . . 5 ((topGen‘𝐵) ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦)))
31, 2syl 14 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦)))
4 uniiun 3939 . . . . . . . . . 10 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵))
65sselda 3155 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
7 eltg4i 13426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑧 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
98iuneq2dv 3907 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑧𝑦 𝑧 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
104, 9eqtrid 2222 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
11 iuncom4 3893 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧)
1210, 11eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
13 inss1 3355 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
1413rgenw 2532 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
15 iunss 3927 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
1614, 15mpbir 146 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
1716a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
18 eltg3i 13427 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
1917, 18sylan2 286 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
2012, 19eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
21 eleq1 2240 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
2220, 21syl5ibrcom 157 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2322expimpd 363 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ((𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2423exlimdv 1819 . . . 4 (𝐵𝑉 → (∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
253, 24sylbid 150 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2625ssrdv 3161 . 2 (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) ⊆ (topGen‘𝐵))
27 bastg 13432 . . 3 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
28 tgss 13434 . . 3 (((topGen‘𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
291, 27, 28syl2anc 411 . 2 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
3026, 29eqssd 3172 1 (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  𝒫 cpw 3575   cuni 3809   ciun 3886  cfv 5215  topGenctg 12691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-topgen 12697
This theorem is referenced by:  tgss3  13449  txbasval  13638
  Copyright terms: Public domain W3C validator