wlk1walkdom - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > wlk1walkdom		GIF version

Theorem wlk1walkdom 16070

Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
wlk1walk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
wlk1walkdom	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1_o ≼ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups: 𝑘,𝐹 𝑘,𝐺 𝑃,𝑘 Allowed substitution hint: 𝐼(𝑘)

Proof of Theorem wlk1walkdom Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk1walk.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		wlkv 16038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	2	simp1d 1033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐺 ∈ V)
4		iedgex 15820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ V → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2316	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐼 ∈ V)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐼 ∈ V)
8	2	simp2d 1034	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ V)
10		elfzoelz 10343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		peano2zm 9484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
14		fvexg 5646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ V)
15	9, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ V)
16		fvexg 5646	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ V) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V)
17	7, 15, 16	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V)
18		inex1g 4220	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V)
19	17, 18	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V)
20		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
22	20, 21	wlkprop 16039	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))))
23	22	simp3d 1035	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))))
24		elfzofz 10359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
25		fz1fzo0m1 10389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
26		wkslem1 16033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑘 − 1) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
27	26	rspcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
28	24, 25, 27	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
29	23, 28	mpan9 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
30		fzo0ss1 10372	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
31	30	sseli 3220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
32		wkslem1 16033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
33	32	rspcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
34	31, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
35	23, 34	mpan9 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
36		df-ifp 984	. . . . . . 7 ⊢ (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
37		zcn 9451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
38		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 − 1) = (𝑘 − 1))
39		npcan1 8524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
40		wkslem2 16034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 − 1) = (𝑘 − 1) ∧ ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
42	10, 37, 41	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
44		df-ifp 984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
45		anass 401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))})) ↔ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}))))
46		sneq 3677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → {(𝑃‘(𝑘 − 1))} = {(𝑃‘𝑘)})
47	46	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)}))
48	47	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)})
49	2	simp3d 1035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑃 ∈ V)
51		vex 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑘 ∈ V
52		fvexg 5646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ V) → (𝑃‘𝑘) ∈ V)
53	50, 51, 52	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ V)
54		snidg 3695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ V → (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)})
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)})
56	1	fveq1i 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
57	56	eleq2i 2296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
58		eleq2 2293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
59	57, 58	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
60	55, 59	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
61	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)})
62		eleq2 2293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
64	61, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
65	1	fveq1i 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))
66	64, 65	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
68	60, 67	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
69	48, 68	sylani 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
70	69	ancomsd 269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))})) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
71	70	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
72	45, 71	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))})) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
73	72	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
74	11	peano2zd 9572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
75		fvexg 5646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V)
76	50, 74, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V)
77		prssg 3825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V) → (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
78	53, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
79	78	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
80	79	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
81	1	eqcomi 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
82	81	fveq1i 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))
83	82	eleq2i 2296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
84	83	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
85	80, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
86	85	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
87	60, 86	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
88	87	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
89	48, 88	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
90	89	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
91	90	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
92	73, 91	jaod 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
93	92	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
94		fvexg 5646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V)
95	50, 13, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V)
96		prssg 3825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ V) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
97	95, 53, 96	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
98	81	fveq1i 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
99	98	eleq2i 2296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
100	99	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
102	101, 67	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
103	102	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
104	103	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
105	97, 104	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
106	105	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
107	106	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
108	107	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
109	99, 83	anbi12i 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
110	109	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
113	97, 112	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
114	113	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
115	114	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
117	80, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
118	117	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
119	118	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
120	108, 119	jaod 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
121	120	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
122	93, 121	jaod 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
123	44, 122	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
124	43, 123	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
125	124	com3r 79	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
126	36, 125	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
127	35, 126	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
128	29, 127	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
129		elin 3387	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
130	128, 129	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
131		dom1oi 6978	. . 3 ⊢ ((((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → 1_o ≼ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
132	19, 130, 131	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 1_o ≼ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
133	132	ralrimiva 2603	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1_o ≼ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 713 if-wif 983 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 ∀wral 2508 Vcvv 2799 ∩ cin 3196 ⊆ wss 3197 {csn 3666 {cpr 3667 class class class wbr 4083 dom cdm 4719 ⟶wf 5314 ‘cfv 5318 (class class class)co 6001 1_oc1o 6555 ≼ cdom 6886 ℂcc 7997 0cc0 7999 1c1 8000 + caddc 8002 − cmin 8317 ℤcz 9446 ...cfz 10204 ..^cfzo 10338 ♯chash 10997 Word cword 11071 Vtxcvtx 15813 iEdgciedg 15814 Walkscwlks 16030

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-ifp 984 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-1o 6562 df-er 6680 df-map 6797 df-en 6888 df-dom 6889 df-fin 6890 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-inn 9111 df-2 9169 df-3 9170 df-4 9171 df-5 9172 df-6 9173 df-7 9174 df-8 9175 df-9 9176 df-n0 9370 df-z 9447 df-dec 9579 df-uz 9723 df-fz 10205 df-fzo 10339 df-ihash 10998 df-word 11072 df-ndx 13035 df-slot 13036 df-base 13038 df-edgf 15806 df-vtx 15815 df-iedg 15816 df-wlks 16031

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator