wlk1walkdom - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem wlk1walkdom 16805

Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
wlk1walk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
wlk1walkdom	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1_o ≼ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups: 𝑘,𝐹 𝑘,𝐺 𝑃,𝑘 Allowed substitution hint: 𝐼(𝑘)

Proof of Theorem wlk1walkdom Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk1walk.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		wlkv 16772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	2	simp1d 1040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐺 ∈ V)
4		iedgex 16465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ V → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2325	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐼 ∈ V)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐼 ∈ V)
8	2	simp2d 1041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ V)
10		elfzoelz 10571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		peano2zm 9693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
14		fvexg 5717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ V)
15	9, 13, 14	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ V)
16		fvexg 5717	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐹‘(𝑘 − 1)) ∈ V) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V)
17	7, 15, 16	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V)
18		inex1g 4271	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V)
19	17, 18	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V)
20		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
22	20, 21	wlkprop 16773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))))
23	22	simp3d 1042	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))))
24		elfzofz 10587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
25		fz1fzo0m1 10618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
26		wkslem1 16766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑘 − 1) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
27	26	rspcv 2925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
28	24, 25, 27	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
29	23, 28	mpan9 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
30		fzo0ss1 10600	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
31	30	sseli 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
32		wkslem1 16766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
33	32	rspcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
34	31, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
35	23, 34	mpan9 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
36		df-ifp 991	. . . . . . 7 ⊢ (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
37		zcn 9660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
38		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 − 1) = (𝑘 − 1))
39		npcan1 8712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
40		wkslem2 16767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 − 1) = (𝑘 − 1) ∧ ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
41	38, 39, 40	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
42	10, 37, 41	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
44		df-ifp 991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
45		anass 405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))})) ↔ ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}))))
46		sneq 3720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → {(𝑃‘(𝑘 − 1))} = {(𝑃‘𝑘)})
47	46	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)}))
48	47	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)})
49	2	simp3d 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 𝑃 ∈ V)
51		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑘 ∈ V
52		fvexg 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ V) → (𝑃‘𝑘) ∈ V)
53	50, 51, 52	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ V)
54		snidg 3738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ V → (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)})
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)})
56	1	fveq1i 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
57	56	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
58		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
59	57, 58	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
60	55, 59	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
61	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)})
62		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
64	61, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
65	1	fveq1i 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))
66	64, 65	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
68	60, 67	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
69	48, 68	sylani 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
70	69	ancomsd 269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))})) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
71	70	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
72	45, 71	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∧ ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))})) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
73	72	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
74	11	peano2zd 9782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
75		fvexg 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V)
76	50, 74, 75	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V)
77		prssg 3872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V) → (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
78	53, 76, 77	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
79	78	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
80	79	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
81	1	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
82	81	fveq1i 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))
83	82	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
84	83	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
85	80, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
86	85	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
87	60, 86	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
88	87	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
89	48, 88	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
90	89	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
91	90	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
92	73, 91	jaod 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
93	92	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
94		fvexg 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V)
95	50, 13, 94	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V)
96		prssg 3872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ V) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
97	95, 53, 96	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
98	81	fveq1i 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
99	98	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
100	99	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
102	101, 67	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
103	102	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
104	103	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
105	97, 104	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
106	105	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
107	106	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
108	107	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
109	99, 83	anbi12i 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
110	109	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
113	97, 112	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
114	113	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
115	114	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
117	80, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
118	117	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
119	118	adantld 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
120	108, 119	jaod 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
121	120	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
122	93, 121	jaod 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
123	44, 122	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
124	43, 123	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
125	124	com3r 79	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
126	36, 125	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
127	35, 126	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
128	29, 127	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
129		elin 3412	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
130	128, 129	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
131		dom1oi 7121	. . 3 ⊢ ((((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → 1_o ≼ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
132	19, 130, 131	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 1_o ≼ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
133	132	ralrimiva 2623	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1_o ≼ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 if-wif 990 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ∀wral 2528 Vcvv 2821 ∩ cin 3219 ⊆ wss 3220 {csn 3709 {cpr 3710 class class class wbr 4131 dom cdm 4776 ⟶wf 5376 ‘cfv 5380 (class class class)co 6088 1_oc1o 6684 ≼ cdom 7025 ℂcc 8183 0cc0 8185 1c1 8186 + caddc 8188 − cmin 8504 ℤcz 9655 ...cfz 10428 ..^cfzo 10566 ♯chash 11236 Word cword 11326 Vtxcvtx 16458 iEdgciedg 16459 Walkscwlks 16763

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-ifp 991 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-frec 6666 df-1o 6691 df-er 6811 df-map 6928 df-en 7027 df-dom 7028 df-fin 7029 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-inn 9314 df-2 9372 df-3 9373 df-4 9374 df-5 9375 df-6 9376 df-7 9377 df-8 9378 df-9 9379 df-n0 9575 df-z 9656 df-dec 9789 df-uz 9938 df-fz 10429 df-fzo 10567 df-ihash 11237 df-word 11327 df-ndx 13413 df-slot 13414 df-base 13416 df-edgf 16451 df-vtx 16460 df-iedg 16461 df-wlks 16764

This theorem is used by: (None)

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