Theorem sseq2 3203

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3186	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
3		sstr2 3186	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
4	3	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
5	2, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
6		eqss 3194	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		dfbi2 388	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ⊆ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  sseq12  3204  sseq2i  3206  sseq2d  3209  sseqtrid  3229  nssne1  3237  sseq0  3488  un00  3493  pweq  3604  ssintab  3887  ssintub  3888  intmin  3890  treq  4133  ssexg  4168  exmidundif  4235  frforeq3  4378  frirrg  4381  iunpw  4511  ordtri2orexmid  4555  ontr2exmid  4557  onsucsssucexmid  4559  ordtri2or2exmid  4603  ontri2orexmidim  4604  iotaexab  5233  fununi  5322  funcnvuni  5323  feq3  5388  ssimaexg  5619  nnawordex  6582  ereq1  6594  xpider  6660  domeng  6806  ssfiexmid  6932  fisseneq  6988  sbthlemi4  7019  sbthlemi5  7020  nninfninc  7182  acfun  7267  onntri45  7301  ccfunen  7324  fprodssdc  11733  lspf  13885  lspval  13886  basis2  14216  eltg2  14221  clsval  14279  ntrcls0  14299  isnei  14312  neiint  14313  neipsm  14322  opnneissb  14323  opnssneib  14324  innei  14331  icnpimaex  14379  cnptoprest2  14408  neitx  14436  txcnp  14439  blssps  14595  blss  14596  metss  14662  metrest  14674  metcnp3  14679  bdssexg  15396  bj-nntrans  15443  bj-omtrans  15448