Theorem sseq2 3272

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3255	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
3		sstr2 3255	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
4	3	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
5	2, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
6		eqss 3263	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		dfbi2 392	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12  3273  sseq2i  3275  sseq2d  3278  sseqtrid  3298  nssne1  3306  sseq0b  3564  un00  3567  pweq  3691  ssintab  3987  ssintub  3988  intmin  3990  treq  4235  ssexg  4272  exmidundif  4343  frforeq3  4492  frirrg  4495  iunpw  4626  ordtri2orexmid  4670  ontr2exmid  4672  onsucsssucexmid  4674  ordtri2or2exmid  4718  ontri2orexmidim  4719  iotaexab  5356  fununi  5449  funcnvuni  5450  feq3  5518  ssimaexg  5765  nnawordex  6802  ereq1  6814  xpider  6880  domeng  7036  ssfiexmid  7178  ssfiexmidt  7180  fisseneq  7242  sbthlemi4  7277  sbthlemi5  7278  nninfninc  7463  acfun  7563  onntri45  7600  ccfunen  7630  fprodssdc  12359  lspf  14728  lspval  14729  aspval  15017  asplss  15018  aspsubrg  15020  basis2  15151  eltg2  15156  clsval  15214  ntrcls0  15234  isnei  15247  neiint  15248  neipsm  15257  opnneissb  15258  opnssneib  15259  innei  15266  icnpimaex  15314  cnptoprest2  15343  neitx  15371  txcnp  15374  blssps  15530  blss  15531  metss  15597  metrest  15609  metcnp3  15614  upgredgpr  16402  wlkvtxiedg  16598  wlkvtxiedgg  16599  wlkres  16632  bdssexg  16942  bj-nntrans  16989  bj-omtrans  16994