Theorem sseq2 3264

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3247	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
3		sstr2 3247	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
4	3	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
5	2, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
6		eqss 3255	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		dfbi2 388	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3219  df-ss 3226

This theorem is referenced by:  sseq12  3265  sseq2i  3267  sseq2d  3270  sseqtrid  3290  nssne1  3298  sseq0  3552  un00  3557  pweq  3674  ssintab  3968  ssintub  3969  intmin  3971  treq  4216  ssexg  4251  exmidundif  4321  frforeq3  4470  frirrg  4473  iunpw  4603  ordtri2orexmid  4647  ontr2exmid  4649  onsucsssucexmid  4651  ordtri2or2exmid  4695  ontri2orexmidim  4696  iotaexab  5333  fununi  5426  funcnvuni  5427  feq3  5495  ssimaexg  5741  nnawordex  6764  ereq1  6776  xpider  6842  domeng  6991  ssfiexmid  7133  ssfiexmidt  7135  fisseneq  7197  sbthlemi4  7232  sbthlemi5  7233  nninfninc  7416  acfun  7516  onntri45  7553  ccfunen  7580  fprodssdc  12280  lspf  14554  lspval  14555  basis2  14930  eltg2  14935  clsval  14993  ntrcls0  15013  isnei  15026  neiint  15027  neipsm  15036  opnneissb  15037  opnssneib  15038  innei  15045  icnpimaex  15093  cnptoprest2  15122  neitx  15150  txcnp  15153  blssps  15309  blss  15310  metss  15376  metrest  15388  metcnp3  15393  upgredgpr  16161  wlkvtxiedg  16357  wlkvtxiedgg  16358  wlkres  16391  bdssexg  16691  bj-nntrans  16738  bj-omtrans  16743