Theorem sseq2 3166

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3149	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
3		sstr2 3149	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
4	3	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
5	2, 4	anim12i 336	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
6		eqss 3157	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		dfbi2 386	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 200	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ⊆ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  sseq12  3167  sseq2i  3169  sseq2d  3172  sseqtrid  3192  nssne1  3200  sseq0  3450  un00  3455  pweq  3562  ssintab  3841  ssintub  3842  intmin  3844  treq  4086  ssexg  4121  exmidundif  4185  frforeq3  4325  frirrg  4328  iunpw  4458  ordtri2orexmid  4500  ontr2exmid  4502  onsucsssucexmid  4504  ordtri2or2exmid  4548  ontri2orexmidim  4549  fununi  5256  funcnvuni  5257  feq3  5322  ssimaexg  5548  nnawordex  6496  ereq1  6508  xpider  6572  domeng  6718  ssfiexmid  6842  fisseneq  6897  sbthlemi4  6925  sbthlemi5  6926  acfun  7163  onntri45  7197  ccfunen  7205  fprodssdc  11531  basis2  12686  eltg2  12693  clsval  12751  ntrcls0  12771  isnei  12784  neiint  12785  neipsm  12794  opnneissb  12795  opnssneib  12796  innei  12803  icnpimaex  12851  cnptoprest2  12880  neitx  12908  txcnp  12911  blssps  13067  blss  13068  metss  13134  metrest  13146  metcnp3  13151  bdssexg  13786  bj-nntrans  13833  bj-omtrans  13838