Theorem sseq2 3248

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3231	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
3		sstr2 3231	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
4	3	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
5	2, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
6		eqss 3239	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		dfbi2 388	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  sseq12  3249  sseq2i  3251  sseq2d  3254  sseqtrid  3274  nssne1  3282  sseq0  3533  un00  3538  pweq  3652  ssintab  3940  ssintub  3941  intmin  3943  treq  4188  ssexg  4223  exmidundif  4290  frforeq3  4438  frirrg  4441  iunpw  4571  ordtri2orexmid  4615  ontr2exmid  4617  onsucsssucexmid  4619  ordtri2or2exmid  4663  ontri2orexmidim  4664  iotaexab  5297  fununi  5389  funcnvuni  5390  feq3  5458  ssimaexg  5698  nnawordex  6683  ereq1  6695  xpider  6761  domeng  6909  ssfiexmid  7046  fisseneq  7104  sbthlemi4  7135  sbthlemi5  7136  nninfninc  7298  acfun  7397  onntri45  7434  ccfunen  7458  fprodssdc  12109  lspf  14361  lspval  14362  basis2  14730  eltg2  14735  clsval  14793  ntrcls0  14813  isnei  14826  neiint  14827  neipsm  14836  opnneissb  14837  opnssneib  14838  innei  14845  icnpimaex  14893  cnptoprest2  14922  neitx  14950  txcnp  14953  blssps  15109  blss  15110  metss  15176  metrest  15188  metcnp3  15193  upgredgpr  15955  wlkvtxiedg  16066  wlkvtxiedgg  16067  wlkres  16098  bdssexg  16291  bj-nntrans  16338  bj-omtrans  16343