ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sseq2 GIF version

Theorem sseq2 3121
Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sseq2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem sseq2
StepHypRef Expression
1 sstr2 3104 . . . 4 (𝐶𝐴 → (𝐴𝐵𝐶𝐵))
21com12 30 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
3 sstr2 3104 . . . 4 (𝐶𝐵 → (𝐵𝐴𝐶𝐴))
43com12 30 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐶𝐵𝐶𝐴))
52, 4anim12i 336 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → ((𝐶𝐴𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵𝐶𝐴)))
6 eqss 3112 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
7 dfbi2 385 . 2 ((𝐶𝐴𝐶𝐵) ↔ ((𝐶𝐴𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵𝐶𝐴)))
85, 6, 73imtr4i 200 1 (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wss 3071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-in 3077  df-ss 3084
This theorem is referenced by:  sseq12  3122  sseq2i  3124  sseq2d  3127  sseqtrid  3147  nssne1  3155  sseq0  3404  un00  3409  pweq  3513  ssintab  3788  ssintub  3789  intmin  3791  treq  4032  ssexg  4067  exmidundif  4129  frforeq3  4269  frirrg  4272  iunpw  4401  ordtri2orexmid  4438  ontr2exmid  4440  onsucsssucexmid  4442  ordtri2or2exmid  4486  fununi  5191  funcnvuni  5192  feq3  5257  ssimaexg  5483  nnawordex  6424  ereq1  6436  xpider  6500  domeng  6646  ssfiexmid  6770  fisseneq  6820  sbthlemi4  6848  sbthlemi5  6849  acfun  7070  ccfunen  7086  basis2  12231  eltg2  12238  clsval  12296  ntrcls0  12316  isnei  12329  neiint  12330  neipsm  12339  opnneissb  12340  opnssneib  12341  innei  12348  icnpimaex  12396  cnptoprest2  12425  neitx  12453  txcnp  12456  blssps  12612  blss  12613  metss  12679  metrest  12691  metcnp3  12696  bdssexg  13209  bj-nntrans  13256  bj-omtrans  13261
  Copyright terms: Public domain W3C validator