Theorem sseq2 3208

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3191	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
3		sstr2 3191	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
4	3	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
5	2, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
6		eqss 3199	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		dfbi2 388	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sseq12  3209  sseq2i  3211  sseq2d  3214  sseqtrid  3234  nssne1  3242  sseq0  3493  un00  3498  pweq  3609  ssintab  3892  ssintub  3893  intmin  3895  treq  4138  ssexg  4173  exmidundif  4240  frforeq3  4383  frirrg  4386  iunpw  4516  ordtri2orexmid  4560  ontr2exmid  4562  onsucsssucexmid  4564  ordtri2or2exmid  4608  ontri2orexmidim  4609  iotaexab  5238  fununi  5327  funcnvuni  5328  feq3  5395  ssimaexg  5626  nnawordex  6596  ereq1  6608  xpider  6674  domeng  6820  ssfiexmid  6946  fisseneq  7004  sbthlemi4  7035  sbthlemi5  7036  nninfninc  7198  acfun  7292  onntri45  7326  ccfunen  7349  fprodssdc  11774  lspf  14023  lspval  14024  basis2  14392  eltg2  14397  clsval  14455  ntrcls0  14475  isnei  14488  neiint  14489  neipsm  14498  opnneissb  14499  opnssneib  14500  innei  14507  icnpimaex  14555  cnptoprest2  14584  neitx  14612  txcnp  14615  blssps  14771  blss  14772  metss  14838  metrest  14850  metcnp3  14855  bdssexg  15658  bj-nntrans  15705  bj-omtrans  15710