Theorem sseq2 3248

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3231	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
2	1	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵))
3		sstr2 3231	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
4	3	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴))
5	2, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
6		eqss 3239	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		dfbi2 388	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐶 ⊆ 𝐴 → 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 ⊆ 𝐵 → 𝐶 ⊆ 𝐴)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  sseq12  3249  sseq2i  3251  sseq2d  3254  sseqtrid  3274  nssne1  3282  sseq0  3533  un00  3538  pweq  3652  ssintab  3939  ssintub  3940  intmin  3942  treq  4187  ssexg  4222  exmidundif  4289  frforeq3  4435  frirrg  4438  iunpw  4568  ordtri2orexmid  4612  ontr2exmid  4614  onsucsssucexmid  4616  ordtri2or2exmid  4660  ontri2orexmidim  4661  iotaexab  5293  fununi  5385  funcnvuni  5386  feq3  5454  ssimaexg  5689  nnawordex  6665  ereq1  6677  xpider  6743  domeng  6891  ssfiexmid  7026  fisseneq  7084  sbthlemi4  7115  sbthlemi5  7116  nninfninc  7278  acfun  7377  onntri45  7414  ccfunen  7438  fprodssdc  12087  lspf  14338  lspval  14339  basis2  14707  eltg2  14712  clsval  14770  ntrcls0  14790  isnei  14803  neiint  14804  neipsm  14813  opnneissb  14814  opnssneib  14815  innei  14822  icnpimaex  14870  cnptoprest2  14899  neitx  14927  txcnp  14930  blssps  15086  blss  15087  metss  15153  metrest  15165  metcnp3  15170  upgredgpr  15932  bdssexg  16197  bj-nntrans  16244  bj-omtrans  16249