Theorem mapdom1g 6643

Description: Order-preserving property of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom1g	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6542	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 4511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		domeng 6549	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	4	ibi 175	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
6	5	adantr 271	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
7		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝑥)
8		enrefg 6561	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ≈ 𝐶)
9	8	adantl 272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≈ 𝐶)
10		mapen 6642	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝐶 ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶))
11	7, 9, 10	syl2anr 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶))
12	2	ad2antrr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13		simprr 500	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
14		mapss 6488	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
15	12, 13, 14	syl2anc 404	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
16		fnmap 6452	. . . . . . 7 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
17		elex 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
18		fnovex 5720	. . . . . . 7 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V)
19	16, 2, 17, 18	mp3an3an 1286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V)
20		ssdomg 6575	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
22	21	adantr 271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
23	15, 22	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
24		endomtr 6587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ∧ (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
25	11, 23, 24	syl2anc 404	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
26	6, 25	exlimddv 1833	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∃wex 1433   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ⊆ wss 3013   class class class wbr 3867   × cxp 4465   Fn wfn 5044  (class class class)co 5690   ↑_𝑚 cmap 6445   ≈ cen 6535   ≼ cdom 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-map 6447  df-en 6538  df-dom 6539

This theorem is referenced by: (None)