ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapdom1g GIF version

Theorem mapdom1g 6846
Description: Order-preserving property of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1g ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6744 . . . . . 6 Rel ≼
21brrelex2i 4670 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 6751 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 176 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 276 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 109 . . . 4 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 6763 . . . . 5 (𝐶𝑉𝐶𝐶)
98adantl 277 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → 𝐶𝐶)
10 mapen 6845 . . . 4 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 290 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
122ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13 simprr 531 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
14 mapss 6690 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
16 fnmap 6654 . . . . . . 7 𝑚 Fn (V × V)
17 elex 2748 . . . . . . 7 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
18 fnovex 5907 . . . . . . 7 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
1916, 2, 17, 18mp3an3an 1343 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
20 ssdomg 6777 . . . . . 6 ((𝐵𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2119, 20syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2221adantr 276 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2315, 22mpd 13 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
24 endomtr 6789 . . 3 (((𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶) ∧ (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2511, 23, 24syl2anc 411 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
266, 25exlimddv 1898 1 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wex 1492  wcel 2148  Vcvv 2737  wss 3129   class class class wbr 4003   × cxp 4624   Fn wfn 5211  (class class class)co 5874  𝑚 cmap 6647  cen 6737  cdom 6738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-en 6740  df-dom 6741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator