ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapdom1g GIF version

Theorem mapdom1g 6491
Description: Order-preserving property of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1g ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6390 . . . . . 6 Rel ≼
21brrelex2i 4439 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 6397 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 174 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 270 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 107 . . . 4 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 6409 . . . . 5 (𝐶𝑉𝐶𝐶)
98adantl 271 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → 𝐶𝐶)
10 mapen 6490 . . . 4 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 284 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
122ad2antrr 472 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13 simprr 499 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
14 mapss 6376 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
1512, 13, 14syl2anc 403 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
16 fnmap 6340 . . . . . . 7 𝑚 Fn (V × V)
17 elex 2621 . . . . . . 7 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
18 fnovex 5615 . . . . . . 7 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
1916, 2, 17, 18mp3an3an 1275 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
20 ssdomg 6423 . . . . . 6 ((𝐵𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2119, 20syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2221adantr 270 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2315, 22mpd 13 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
24 endomtr 6435 . . 3 (((𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶) ∧ (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2511, 23, 24syl2anc 403 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
266, 25exlimddv 1821 1 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wex 1422  wcel 1434  Vcvv 2612  wss 2984   class class class wbr 3811   × cxp 4397   Fn wfn 4962  (class class class)co 5589  𝑚 cmap 6333  cen 6383  cdom 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-map 6335  df-en 6386  df-dom 6387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator