Theorem mapdom1g 6841

Description: Order-preserving property of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom1g	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6739	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 4667	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		domeng 6746	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	4	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝑥)
8		enrefg 6758	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ≈ 𝐶)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≈ 𝐶)
10		mapen 6840	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝐶 ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶))
11	7, 9, 10	syl2anr 290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶))
12	2	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
14		mapss 6685	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
16		fnmap 6649	. . . . . . 7 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
17		elex 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
18		fnovex 5902	. . . . . . 7 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V)
19	16, 2, 17, 18	mp3an3an 1343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V)
20		ssdomg 6772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
23	15, 22	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
24		endomtr 6784	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ∧ (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
25	11, 23, 24	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
26	6, 25	exlimddv 1898	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000   × cxp 4621   Fn wfn 5207  (class class class)co 5869   ↑_𝑚 cmap 6642   ≈ cen 6732   ≼ cdom 6733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-en 6735  df-dom 6736

This theorem is referenced by: (None)