ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapdom1g GIF version

Theorem mapdom1g 6837
Description: Order-preserving property of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1g ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6735 . . . . . 6 Rel ≼
21brrelex2i 4664 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 6742 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 176 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 276 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 109 . . . 4 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 6754 . . . . 5 (𝐶𝑉𝐶𝐶)
98adantl 277 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → 𝐶𝐶)
10 mapen 6836 . . . 4 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 290 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
122ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13 simprr 531 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
14 mapss 6681 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
16 fnmap 6645 . . . . . . 7 𝑚 Fn (V × V)
17 elex 2746 . . . . . . 7 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
18 fnovex 5898 . . . . . . 7 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
1916, 2, 17, 18mp3an3an 1343 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V)
20 ssdomg 6768 . . . . . 6 ((𝐵𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2119, 20syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2221adantr 276 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
2315, 22mpd 13 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
24 endomtr 6780 . . 3 (((𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶) ∧ (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2511, 23, 24syl2anc 411 . 2 (((𝐴𝐵𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
266, 25exlimddv 1896 1 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wex 1490  wcel 2146  Vcvv 2735  wss 3127   class class class wbr 3998   × cxp 4618   Fn wfn 5203  (class class class)co 5865  𝑚 cmap 6638  cen 6728  cdom 6729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-en 6731  df-dom 6732
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator