Theorem mapdom1g 6926

Description: Order-preserving property of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
mapdom1g	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6822	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 4717	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		domeng 6829	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5	4	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵))
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝑥)
8		enrefg 6841	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ≈ 𝐶)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≈ 𝐶)
10		mapen 6925	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝐶 ≈ 𝐶) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶))
11	7, 9, 10	syl2anr 290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶))
12	2	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
14		mapss 6768	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
16		fnmap 6732	. . . . . . 7 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
17		elex 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
18		fnovex 5967	. . . . . . 7 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V)
19	16, 2, 17, 18	mp3an3an 1355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V)
20		ssdomg 6855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
23	15, 22	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
24		endomtr 6867	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≈ (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ∧ (𝑥 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
25	11, 23, 24	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
26	6, 25	exlimddv 1921	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ≼ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165   class class class wbr 4043   × cxp 4671   Fn wfn 5263  (class class class)co 5934   ↑_𝑚 cmap 6725   ≈ cen 6815   ≼ cdom 6816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-map 6727  df-en 6818  df-dom 6819

This theorem is referenced by: (None)