ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvds0lem GIF version

Theorem dvds0lem 11810
Description: A lemma to assist theorems of โˆฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0lem (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem dvds0lem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5884 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐พ ยท ๐‘€))
21eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘))
32rspcev 2843 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
43adantl 277 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
5 divides 11798 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
65adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
74, 6mpbird 167 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
87expr 375 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
983impa 1194 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
1093comr 1211 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
1110imp 124 1 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   ยท cmul 7818  โ„คcz 9255   โˆฅ cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  iddvds  11813  1dvds  11814  dvds0  11815  dvdsmul1  11822  dvdsmul2  11823  divalgmod  11934  oddpwdclemxy  12171  ex-dvds  14521
  Copyright terms: Public domain W3C validator