![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dvds0lem | GIF version |
Description: A lemma to assist theorems of โฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds0lem | โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 5884 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ฅ ยท ๐) = (๐พ ยท ๐)) | |
2 | 1 | eqeq1d 2186 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = ๐พ โ ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (๐พ ยท ๐) = ๐)) |
3 | 2 | rspcev 2843 | . . . . . . 7 โข ((๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐) |
4 | 3 | adantl 277 | . . . . . 6 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐) |
5 | divides 11798 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) | |
6 | 5 | adantr 276 | . . . . . 6 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) |
7 | 4, 6 | mpbird 167 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ ๐ โฅ ๐) |
8 | 7 | expr 375 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐พ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
9 | 8 | 3impa 1194 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
10 | 9 | 3comr 1211 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
11 | 10 | imp 124 | 1 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 โง w3a 978 = wceq 1353 โ wcel 2148 โwrex 2456 class class class wbr 4005 (class class class)co 5877 ยท cmul 7818 โคcz 9255 โฅ cdvds 11796 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-rex 2461 df-v 2741 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-br 4006 df-opab 4067 df-iota 5180 df-fv 5226 df-ov 5880 df-dvds 11797 |
This theorem is referenced by: iddvds 11813 1dvds 11814 dvds0 11815 dvdsmul1 11822 dvdsmul2 11823 divalgmod 11934 oddpwdclemxy 12171 ex-dvds 14521 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |