![]() |
Intuitionistic Logic Explorer Theorem List (p. 119 of 149) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > ILE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | p1modz1 11801 | If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.) |
โข ((๐ โฅ ๐ด โง 1 < ๐) โ ((๐ด + 1) mod ๐) = 1) | ||
Theorem | dvdsmodexp 11802 | If a positive integer divides another integer, this other integer is equal to its positive powers modulo the positive integer. (Formerly part of the proof for fermltl 12234). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by AV, 19-Mar-2022.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ โฅ ๐ด) โ ((๐ดโ๐ต) mod ๐) = (๐ด mod ๐)) | ||
Theorem | nndivdvds 11803 | Strong form of dvdsval2 11797 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ต โฅ ๐ด โ (๐ด / ๐ต) โ โ)) | ||
Theorem | nndivides 11804* | Definition of the divides relation for positive integers. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ โ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) | ||
Theorem | dvdsdc 11805 | Divisibility is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค) โ DECID ๐ โฅ ๐) | ||
Theorem | moddvds 11806 | Two ways to say ๐ดโก๐ต (mod ๐), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ((๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐) โ ๐ โฅ (๐ด โ ๐ต))) | ||
Theorem | modm1div 11807 | An integer greater than one divides another integer minus one iff the second integer modulo the first integer is one. (Contributed by AV, 30-May-2023.) |
โข ((๐ โ (โคโฅโ2) โง ๐ด โ โค) โ ((๐ด mod ๐) = 1 โ ๐ โฅ (๐ด โ 1))) | ||
Theorem | dvds0lem 11808 | A lemma to assist theorems of โฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) | ||
Theorem | dvds1lem 11809* | A lemma to assist theorems of โฅ with one antecedent. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ โ (๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค)) & โข (๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) โ โข (๐ โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ ๐ โฅ ๐)) | ||
Theorem | dvds2lem 11810* | A lemma to assist theorems of โฅ with two antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ โ (๐ผ โ โค โง ๐ฝ โ โค)) & โข (๐ โ (๐พ โ โค โง ๐ฟ โ โค)) & โข (๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) & โข ((๐ โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ ๐ โ โค) & โข ((๐ โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ (((๐ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ (๐ ยท ๐) = ๐)) โ โข (๐ โ ((๐ผ โฅ ๐ฝ โง ๐พ โฅ ๐ฟ) โ ๐ โฅ ๐)) | ||
Theorem | iddvds 11811 | An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ โ โค โ ๐ โฅ ๐) | ||
Theorem | 1dvds 11812 | 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ โ โค โ 1 โฅ ๐) | ||
Theorem | dvds0 11813 | Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ โ โค โ ๐ โฅ 0) | ||
Theorem | negdvdsb 11814 | An integer divides another iff its negation does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ -๐ โฅ ๐)) | ||
Theorem | dvdsnegb 11815 | An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ -๐)) | ||
Theorem | absdvdsb 11816 | An integer divides another iff its absolute value does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (absโ๐) โฅ ๐)) | ||
Theorem | dvdsabsb 11817 | An integer divides another iff it divides its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ (absโ๐))) | ||
Theorem | 0dvds 11818 | Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ โ โค โ (0 โฅ ๐ โ ๐ = 0)) | ||
Theorem | zdvdsdc 11819 | Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ DECID ๐ โฅ ๐) | ||
Theorem | dvdsmul1 11820 | An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | ||
Theorem | dvdsmul2 11821 | An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | ||
Theorem | iddvdsexp 11822 | An integer divides a positive integer power of itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ) โ ๐ โฅ (๐โ๐)) | ||
Theorem | muldvds1 11823 | If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) โฅ ๐ โ ๐พ โฅ ๐)) | ||
Theorem | muldvds2 11824 | If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) โฅ ๐ โ ๐ โฅ ๐)) | ||
Theorem | dvdscmul 11825 | Multiplication by a constant maintains the divides relation. Theorem 1.1(d) in [ApostolNT] p. 14 (multiplication property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐พ ยท ๐) โฅ (๐พ ยท ๐))) | ||
Theorem | dvdsmulc 11826 | Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ ยท ๐พ) โฅ (๐ ยท ๐พ))) | ||
Theorem | dvdscmulr 11827 | Cancellation law for the divides relation. Theorem 1.1(e) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐พ โ โค โง ๐พ โ 0)) โ ((๐พ ยท ๐) โฅ (๐พ ยท ๐) โ ๐ โฅ ๐)) | ||
Theorem | dvdsmulcr 11828 | Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐พ โ โค โง ๐พ โ 0)) โ ((๐ ยท ๐พ) โฅ (๐ ยท ๐พ) โ ๐ โฅ ๐)) | ||
Theorem | summodnegmod 11829 | The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ) โ (((๐ด + ๐ต) mod ๐) = 0 โ (๐ด mod ๐) = (-๐ต mod ๐))) | ||
Theorem | modmulconst 11830 | Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ((๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐) โ ((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐)))) | ||
Theorem | dvds2ln 11831 | If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (((๐ผ โ โค โง ๐ฝ โ โค) โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐พ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ ((๐ผ ยท ๐) + (๐ฝ ยท ๐)))) | ||
Theorem | dvds2add 11832 | If an integer divides each of two other integers, it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐พ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ (๐ + ๐))) | ||
Theorem | dvds2sub 11833 | If an integer divides each of two other integers, it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐พ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ (๐ โ ๐))) | ||
Theorem | dvds2subd 11834 | Deduction form of dvds2sub 11833. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) |
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐พ โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐พ โฅ ๐) โ โข (๐ โ ๐พ โฅ (๐ โ ๐)) | ||
Theorem | dvdstr 11835 | The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ ๐)) | ||
Theorem | dvds2addd 11836 | Deduction form of dvds2add 11832. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐พ โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐พ โฅ ๐) โ โข (๐ โ ๐พ โฅ (๐ + ๐)) | ||
Theorem | dvdstrd 11837 | The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 11835. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐พ โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) โ โข (๐ โ ๐พ โฅ ๐) | ||
Theorem | dvdsmultr1 11838 | If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) | ||
Theorem | dvdsmultr1d 11839 | Natural deduction form of dvdsmultr1 11838. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) |
โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐พ โฅ ๐) โ โข (๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐)) | ||
Theorem | dvdsmultr2 11840 | If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) | ||
Theorem | ordvdsmul 11841 | If an integer divides either of two others, it divides their product. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โจ ๐พ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ (๐ ยท ๐))) | ||
Theorem | dvdssub2 11842 | If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) |
โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐พ โฅ (๐ โ ๐)) โ (๐พ โฅ ๐ โ ๐พ โฅ ๐)) | ||
Theorem | dvdsadd 11843 | An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ (๐ + ๐))) | ||
Theorem | dvdsaddr 11844 | An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ (๐ + ๐))) | ||
Theorem | dvdssub 11845 | An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ (๐ โ ๐))) | ||
Theorem | dvdssubr 11846 | An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ (๐ โ ๐))) | ||
Theorem | dvdsadd2b 11847 | Adding a multiple of the base does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง (๐ถ โ โค โง ๐ด โฅ ๐ถ)) โ (๐ด โฅ ๐ต โ ๐ด โฅ (๐ถ + ๐ต))) | ||
Theorem | dvdsaddre2b 11848 | Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 11847 only requiring ๐ต to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โค โง ๐ด โฅ ๐ถ)) โ (๐ด โฅ ๐ต โ ๐ด โฅ (๐ถ + ๐ต))) | ||
Theorem | dvdslelemd 11849 | Lemma for dvdsle 11850. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.) |
โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐พ โ โค) & โข (๐ โ ๐ < ๐) โ โข (๐ โ (๐พ ยท ๐) โ ๐) | ||
Theorem | dvdsle 11850 | The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โค ๐)) | ||
Theorem | dvdsleabs 11851 | The divisors of a nonzero integer are bounded by its absolute value. Theorem 1.1(i) in [ApostolNT] p. 14 (comparison property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โค (absโ๐))) | ||
Theorem | dvdsleabs2 11852 | Transfer divisibility to an order constraint on absolute values. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ โฅ ๐ โ (absโ๐) โค (absโ๐))) | ||
Theorem | dvdsabseq 11853 | If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.) |
โข ((๐ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐) โ (absโ๐) = (absโ๐)) | ||
Theorem | dvdseq 11854 | If two nonnegative integers divide each other, they must be equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2021.) |
โข (((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โง (๐ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐)) โ ๐ = ๐) | ||
Theorem | divconjdvds 11855 | If a nonzero integer ๐ divides another integer ๐, the other integer ๐ divided by the nonzero integer ๐ (i.e. the divisor conjugate of ๐ to ๐) divides the other integer ๐. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.) |
โข ((๐ โฅ ๐ โง ๐ โ 0) โ (๐ / ๐) โฅ ๐) | ||
Theorem | dvdsdivcl 11856* | The complement of a divisor of ๐ is also a divisor of ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ {๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐}) โ (๐ / ๐ด) โ {๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐}) | ||
Theorem | dvdsflip 11857* | An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.) |
โข ๐ด = {๐ฅ โ โ โฃ ๐ฅ โฅ ๐} & โข ๐น = (๐ฆ โ ๐ด โฆ (๐ / ๐ฆ)) โ โข (๐ โ โ โ ๐น:๐ดโ1-1-ontoโ๐ด) | ||
Theorem | dvdsssfz1 11858* | The set of divisors of a number is a subset of a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐ด} โ (1...๐ด)) | ||
Theorem | dvds1 11859 | The only nonnegative integer that divides 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) |
โข (๐ โ โ0 โ (๐ โฅ 1 โ ๐ = 1)) | ||
Theorem | alzdvds 11860* | Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ โ โค โ (โ๐ฅ โ โค ๐ฅ โฅ ๐ โ ๐ = 0)) | ||
Theorem | dvdsext 11861* | Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ0) โ (๐ด = ๐ต โ โ๐ฅ โ โ0 (๐ด โฅ ๐ฅ โ ๐ต โฅ ๐ฅ))) | ||
Theorem | fzm1ndvds 11862 | No number between 1 and ๐ โ 1 divides ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ยฌ ๐ โฅ ๐) | ||
Theorem | fzo0dvdseq 11863 | Zero is the only one of the first ๐ด nonnegative integers that is divisible by ๐ด. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) |
โข (๐ต โ (0..^๐ด) โ (๐ด โฅ ๐ต โ ๐ต = 0)) | ||
Theorem | fzocongeq 11864 | Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) |
โข ((๐ด โ (๐ถ..^๐ท) โง ๐ต โ (๐ถ..^๐ท)) โ ((๐ท โ ๐ถ) โฅ (๐ด โ ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) | ||
Theorem | addmodlteqALT 11865 | Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 10398 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) |
โข ((๐ผ โ (0..^๐) โง ๐ฝ โ (0..^๐) โง ๐ โ โค) โ (((๐ผ + ๐) mod ๐) = ((๐ฝ + ๐) mod ๐) โ ๐ผ = ๐ฝ)) | ||
Theorem | dvdsfac 11866 | A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.) |
โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ๐พ)) โ ๐พ โฅ (!โ๐)) | ||
Theorem | dvdsexp 11867 | A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐ดโ๐) โฅ (๐ดโ๐)) | ||
Theorem | dvdsmod 11868 | Any number ๐พ whose mod base ๐ is divisible by a divisor ๐ of the base is also divisible by ๐. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod ๐ for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) |
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐พ โ โค) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ โฅ (๐พ mod ๐) โ ๐ โฅ ๐พ)) | ||
Theorem | mulmoddvds 11869 | If an integer is divisible by a positive integer, the product of this integer with another integer modulo the positive integer is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ โฅ ๐ด โ ((๐ด ยท ๐ต) mod ๐) = 0)) | ||
Theorem | 3dvdsdec 11870 | A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if ๐ด and ๐ต actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers ๐ด and ๐ต, especially if ๐ด is itself a decimal number, e.g., ๐ด = ;๐ถ๐ท. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 โ โข (3 โฅ ;๐ด๐ต โ 3 โฅ (๐ด + ๐ต)) | ||
Theorem | 3dvds2dec 11871 | A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if ๐ด, ๐ต and ๐ถ actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers ๐ด, ๐ต and ๐ถ. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 โ โข (3 โฅ ;;๐ด๐ต๐ถ โ 3 โฅ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)) | ||
The set โค of integers can be partitioned into the set of even numbers and the set of odd numbers, see zeo4 11875. Instead of defining new class variables Even and Odd to represent these sets, we use the idiom 2 โฅ ๐ to say that "๐ is even" (which implies ๐ โ โค, see evenelz 11872) and ยฌ 2 โฅ ๐ to say that "๐ is odd" (under the assumption that ๐ โ โค). The previously proven theorems about even and odd numbers, like zneo 9354, zeo 9358, zeo2 9359, etc. use different representations, which are equivalent with the representations using the divides relation, see evend2 11894 and oddp1d2 11895. The corresponding theorems are zeneo 11876, zeo3 11873 and zeo4 11875. | ||
Theorem | evenelz 11872 | An even number is an integer. This follows immediately from the reverse closure of the divides relation, see dvdszrcl 11799. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.) |
โข (2 โฅ ๐ โ ๐ โ โค) | ||
Theorem | zeo3 11873 | An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.) |
โข (๐ โ โค โ (2 โฅ ๐ โจ ยฌ 2 โฅ ๐)) | ||
Theorem | zeoxor 11874 | An integer is even or odd but not both. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2021.) |
โข (๐ โ โค โ (2 โฅ ๐ โป ยฌ 2 โฅ ๐)) | ||
Theorem | zeo4 11875 | An integer is even or odd but not both. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.) |
โข (๐ โ โค โ (2 โฅ ๐ โ ยฌ ยฌ 2 โฅ ๐)) | ||
Theorem | zeneo 11876 | No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. This variant of zneo 9354 follows immediately from the fact that a contradiction implies anything, see pm2.21i 646. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ((2 โฅ ๐ด โง ยฌ 2 โฅ ๐ต) โ ๐ด โ ๐ต)) | ||
Theorem | odd2np1lem 11877* | Lemma for odd2np1 11878. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
โข (๐ โ โ0 โ (โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โจ โ๐ โ โค (๐ ยท 2) = ๐)) | ||
Theorem | odd2np1 11878* | An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) | ||
Theorem | even2n 11879* | An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.) |
โข (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (2 ยท ๐) = ๐) | ||
Theorem | oddm1even 11880 | An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) |
โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ 2 โฅ (๐ โ 1))) | ||
Theorem | oddp1even 11881 | An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) |
โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ 2 โฅ (๐ + 1))) | ||
Theorem | oexpneg 11882 | The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (-๐ดโ๐) = -(๐ดโ๐)) | ||
Theorem | mod2eq0even 11883 | An integer is 0 modulo 2 iff it is even (i.e. divisible by 2), see example 2 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ mod 2) = 0 โ 2 โฅ ๐)) | ||
Theorem | mod2eq1n2dvds 11884 | An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ mod 2) = 1 โ ยฌ 2 โฅ ๐)) | ||
Theorem | oddnn02np1 11885* | A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) |
โข (๐ โ โ0 โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โ0 ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) | ||
Theorem | oddge22np1 11886* | An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โ ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) | ||
Theorem | evennn02n 11887* | A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.) |
โข (๐ โ โ0 โ (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โ0 (2 ยท ๐) = ๐)) | ||
Theorem | evennn2n 11888* | A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.) |
โข (๐ โ โ โ (2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โ (2 ยท ๐) = ๐)) | ||
Theorem | 2tp1odd 11889 | A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต = ((2 ยท ๐ด) + 1)) โ ยฌ 2 โฅ ๐ต) | ||
Theorem | mulsucdiv2z 11890 | An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค) | ||
Theorem | sqoddm1div8z 11891 | A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (((๐โ2) โ 1) / 8) โ โค) | ||
Theorem | 2teven 11892 | A number which is twice an integer is even. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต = (2 ยท ๐ด)) โ 2 โฅ ๐ต) | ||
Theorem | zeo5 11893 | An integer is either even or odd, version of zeo3 11873 avoiding the negation of the representation of an odd number. (Proposed by BJ, 21-Jun-2021.) (Contributed by AV, 26-Jun-2020.) |
โข (๐ โ โค โ (2 โฅ ๐ โจ 2 โฅ (๐ + 1))) | ||
Theorem | evend2 11894 | An integer is even iff its quotient with 2 is an integer. This is a representation of even numbers without using the divides relation, see zeo 9358 and zeo2 9359. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.) |
โข (๐ โ โค โ (2 โฅ ๐ โ (๐ / 2) โ โค)) | ||
Theorem | oddp1d2 11895 | An integer is odd iff its successor divided by 2 is an integer. This is a representation of odd numbers without using the divides relation, see zeo 9358 and zeo2 9359. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.) |
โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | zob 11896 | Alternate characterizations of an odd number. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.) |
โข (๐ โ โค โ (((๐ + 1) / 2) โ โค โ ((๐ โ 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | oddm1d2 11897 | An integer is odd iff its predecessor divided by 2 is an integer. This is another representation of odd numbers without using the divides relation. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Jun-2021.) |
โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ ((๐ โ 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | ltoddhalfle 11898 | An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐ โง ๐ โ โค) โ (๐ < (๐ / 2) โ ๐ โค ((๐ โ 1) / 2))) | ||
Theorem | halfleoddlt 11899 | An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐ โง ๐ โ โค) โ ((๐ / 2) โค ๐ โ (๐ / 2) < ๐)) | ||
Theorem | opoe 11900 | The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
โข (((๐ด โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐ด) โง (๐ต โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐ต)) โ 2 โฅ (๐ด + ๐ต)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |