HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 119 of 149)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 11801-11900   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremp1modz1 11801 If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)
((๐‘€ โˆฅ ๐ด โˆง 1 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด + 1) mod ๐‘€) = 1)
 
Theoremdvdsmodexp 11802 If a positive integer divides another integer, this other integer is equal to its positive powers modulo the positive integer. (Formerly part of the proof for fermltl 12234). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by AV, 19-Mar-2022.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘))
 
Theoremnndivdvds 11803 Strong form of dvdsval2 11797 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„•))
 
Theoremnndivides 11804* Definition of the divides relation for positive integers. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
 
Theoremdvdsdc 11805 Divisibility is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
 
Theoremmoddvds 11806 Two ways to say ๐ดโ‰ก๐ต (mod ๐‘), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) = (๐ต mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremmodm1div 11807 An integer greater than one divides another integer minus one iff the second integer modulo the first integer is one. (Contributed by AV, 30-May-2023.)
((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) = 1 โ†” ๐‘ โˆฅ (๐ด โˆ’ 1)))
 
Theoremdvds0lem 11808 A lemma to assist theorems of โˆฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvds1lem 11809* A lemma to assist theorems of โˆฅ with one antecedent. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvds2lem 11810* A lemma to assist theorems of โˆฅ with two antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremiddvds 11811 An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
 
Theorem1dvds 11812 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvds0 11813 Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ 0)
 
Theoremnegdvdsb 11814 An integer divides another iff its negation does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” -๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdsnegb 11815 An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
 
Theoremabsdvdsb 11816 An integer divides another iff its absolute value does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdsabsb 11817 An integer divides another iff it divides its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘)))
 
Theorem0dvds 11818 Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
 
Theoremzdvdsdc 11819 Divisibility of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jan-2022.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvdsmul1 11820 An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
 
Theoremdvdsmul2 11821 An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
 
Theoremiddvdsexp 11822 An integer divides a positive integer power of itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘))
 
Theoremmuldvds1 11823 If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremmuldvds2 11824 If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdscmul 11825 Multiplication by a constant maintains the divides relation. Theorem 1.1(d) in [ApostolNT] p. 14 (multiplication property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
 
Theoremdvdsmulc 11826 Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ)))
 
Theoremdvdscmulr 11827 Cancellation law for the divides relation. Theorem 1.1(e) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdsmulcr 11828 Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ) โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremsummodnegmod 11829 The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + ๐ต) mod ๐‘) = 0 โ†” (๐ด mod ๐‘) = (-๐ต mod ๐‘)))
 
Theoremmodmulconst 11830 Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
(((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€))))
 
Theoremdvds2ln 11831 If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘))))
 
Theoremdvds2add 11832 If an integer divides each of two other integers, it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ + ๐‘)))
 
Theoremdvds2sub 11833 If an integer divides each of two other integers, it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
 
Theoremdvds2subd 11834 Deduction form of dvds2sub 11833. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘))
 
Theoremdvdstr 11835 The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvds2addd 11836 Deduction form of dvds2add 11832. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ + ๐‘))
 
Theoremdvdstrd 11837 The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 11835. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvdsmultr1 11838 If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
 
Theoremdvdsmultr1d 11839 Natural deduction form of dvdsmultr1 11838. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
 
Theoremdvdsmultr2 11840 If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
 
Theoremordvdsmul 11841 If an integer divides either of two others, it divides their product. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
 
Theoremdvdssub2 11842 If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
(((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐พ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdsadd 11843 An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ + ๐‘)))
 
Theoremdvdsaddr 11844 An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘ + ๐‘€)))
 
Theoremdvdssub 11845 An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
 
Theoremdvdssubr 11846 An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
 
Theoremdvdsadd2b 11847 Adding a multiple of the base does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆฅ ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” ๐ด โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremdvdsaddre2b 11848 Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 11847 only requiring ๐ต to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆฅ ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” ๐ด โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremdvdslelemd 11849 Lemma for dvdsle 11850. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)
 
Theoremdvdsle 11850 The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
 
Theoremdvdsleabs 11851 The divisors of a nonzero integer are bounded by its absolute value. Theorem 1.1(i) in [ApostolNT] p. 14 (comparison property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (absโ€˜๐‘)))
 
Theoremdvdsleabs2 11852 Transfer divisibility to an order constraint on absolute values. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (absโ€˜๐‘€) โ‰ค (absโ€˜๐‘)))
 
Theoremdvdsabseq 11853 If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)
((๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜๐‘€) = (absโ€˜๐‘))
 
Theoremdvdseq 11854 If two nonnegative integers divide each other, they must be equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2021.)
(((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = ๐‘)
 
Theoremdivconjdvds 11855 If a nonzero integer ๐‘€ divides another integer ๐‘, the other integer ๐‘ divided by the nonzero integer ๐‘€ (i.e. the divisor conjugate of ๐‘ to ๐‘€) divides the other integer ๐‘. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
((๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvdsdivcl 11856* The complement of a divisor of ๐‘ is also a divisor of ๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐ด) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
 
Theoremdvdsflip 11857* An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
๐ด = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}    &   ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ฆ))    โ‡’   (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
 
Theoremdvdsssfz1 11858* The set of divisors of a number is a subset of a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
(๐ด โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ด))
 
Theoremdvds1 11859 The only nonnegative integer that divides 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
(๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ 1 โ†” ๐‘€ = 1))
 
Theoremalzdvds 11860* Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
 
Theoremdvdsext 11861* Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐ด โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐ต โˆฅ ๐‘ฅ)))
 
Theoremfzm1ndvds 11862 No number between 1 and ๐‘€ โˆ’ 1 divides ๐‘€. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
 
Theoremfzo0dvdseq 11863 Zero is the only one of the first ๐ด nonnegative integers that is divisible by ๐ด. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
(๐ต โˆˆ (0..^๐ด) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” ๐ต = 0))
 
Theoremfzocongeq 11864 Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
((๐ด โˆˆ (๐ถ..^๐ท) โˆง ๐ต โˆˆ (๐ถ..^๐ท)) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
TheoremaddmodlteqALT 11865 Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 10398 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
 
Theoremdvdsfac 11866 A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
 
Theoremdvdsexp 11867 A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘))
 
Theoremdvdsmod 11868 Any number ๐พ whose mod base ๐‘ is divisible by a divisor ๐‘ƒ of the base is also divisible by ๐‘ƒ. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod ๐‘ for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
(((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
 
Theoremmulmoddvds 11869 If an integer is divisible by a positive integer, the product of this integer with another integer modulo the positive integer is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) mod ๐‘) = 0))
 
Theorem3dvdsdec 11870 A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if ๐ด and ๐ต actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers ๐ด and ๐ต, especially if ๐ด is itself a decimal number, e.g., ๐ด = ๐ถ๐ท. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    โ‡’   (3 โˆฅ ๐ด๐ต โ†” 3 โˆฅ (๐ด + ๐ต))
 
Theorem3dvds2dec 11871 A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if ๐ด, ๐ต and ๐ถ actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers ๐ด, ๐ต and ๐ถ. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    โ‡’   (3 โˆฅ ๐ด๐ต๐ถ โ†” 3 โˆฅ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ))
 
5.1.2  Even and odd numbers

The set โ„ค of integers can be partitioned into the set of even numbers and the set of odd numbers, see zeo4 11875. Instead of defining new class variables Even and Odd to represent these sets, we use the idiom 2 โˆฅ ๐‘ to say that "๐‘ is even" (which implies ๐‘ โˆˆ โ„ค, see evenelz 11872) and ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ to say that "๐‘ is odd" (under the assumption that ๐‘ โˆˆ โ„ค). The previously proven theorems about even and odd numbers, like zneo 9354, zeo 9358, zeo2 9359, etc. use different representations, which are equivalent with the representations using the divides relation, see evend2 11894 and oddp1d2 11895. The corresponding theorems are zeneo 11876, zeo3 11873 and zeo4 11875.

 
Theoremevenelz 11872 An even number is an integer. This follows immediately from the reverse closure of the divides relation, see dvdszrcl 11799. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.)
(2 โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
 
Theoremzeo3 11873 An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremzeoxor 11874 An integer is even or odd but not both. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โŠป ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremzeo4 11875 An integer is even or odd but not both. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” ยฌ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremzeneo 11876 No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. This variant of zneo 9354 follows immediately from the fact that a contradiction implies anything, see pm2.21i 646. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต))
 
Theoremodd2np1lem 11877* Lemma for odd2np1 11878. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
 
Theoremodd2np1 11878* An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
 
Theoremeven2n 11879* An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)
(2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)
 
Theoremoddm1even 11880 An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
 
Theoremoddp1even 11881 An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ + 1)))
 
Theoremoexpneg 11882 The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))
 
Theoremmod2eq0even 11883 An integer is 0 modulo 2 iff it is even (i.e. divisible by 2), see example 2 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 0 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremmod2eq1n2dvds 11884 An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremoddnn02np1 11885* A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
 
Theoremoddge22np1 11886* An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
 
Theoremevennn02n 11887* A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
 
Theoremevennn2n 11888* A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
 
Theorem2tp1odd 11889 A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐ด) + 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)
 
Theoremmulsucdiv2z 11890 An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)
 
Theoremsqoddm1div8z 11891 A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„ค)
 
Theorem2teven 11892 A number which is twice an integer is even. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต = (2 ยท ๐ด)) โ†’ 2 โˆฅ ๐ต)
 
Theoremzeo5 11893 An integer is either even or odd, version of zeo3 11873 avoiding the negation of the representation of an odd number. (Proposed by BJ, 21-Jun-2021.) (Contributed by AV, 26-Jun-2020.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ + 1)))
 
Theoremevend2 11894 An integer is even iff its quotient with 2 is an integer. This is a representation of even numbers without using the divides relation, see zeo 9358 and zeo2 9359. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
 
Theoremoddp1d2 11895 An integer is odd iff its successor divided by 2 is an integer. This is a representation of odd numbers without using the divides relation, see zeo 9358 and zeo2 9359. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
 
Theoremzob 11896 Alternate characterizations of an odd number. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
 
Theoremoddm1d2 11897 An integer is odd iff its predecessor divided by 2 is an integer. This is another representation of odd numbers without using the divides relation. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
 
Theoremltoddhalfle 11898 An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
 
Theoremhalfleoddlt 11899 An integer is greater than half of an odd number iff it is greater than or equal to the half of the odd number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†” (๐‘ / 2) < ๐‘€))
 
Theoremopoe 11900 The sum of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
(((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)) โ†’ 2 โˆฅ (๐ด + ๐ต))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14834
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >