![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dvdsmul1 | GIF version |
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmul1 | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 9257 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
2 | zcn 9257 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
3 | mulcom 7939 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2anr 290 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
5 | zmulcl 9305 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | |
6 | dvds0lem 11807 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โง (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) | |
7 | 6 | ex 115 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
8 | 7 | 3com12 1207 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
9 | 5, 8 | mpd3an3 1338 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐))) |
10 | 4, 9 | mpd 13 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โง w3a 978 = wceq 1353 โ wcel 2148 class class class wbr 4003 (class class class)co 5874 โcc 7808 ยท cmul 7815 โคcz 9252 โฅ cdvds 11793 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4121 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-setind 4536 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-cnre 7921 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-br 4004 df-opab 4065 df-id 4293 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-sub 8129 df-neg 8130 df-inn 8919 df-n0 9176 df-z 9253 df-dvds 11794 |
This theorem is referenced by: dvdsmultr1 11837 3dvdsdec 11869 3dvds2dec 11870 2teven 11891 opoe 11899 omoe 11900 z4even 11920 ndvdsi 11937 mulgcd 12016 dvdsmulgcd 12025 lcmval 12062 lcmcllem 12066 lcmgcdlem 12076 qredeq 12095 cncongr2 12103 nprm 12122 exprmfct 12137 prmdiv 12234 difsqpwdvds 12336 expnprm 12350 pockthlem 12353 evenennn 12393 lgsdir 14406 2lgsoddprmlem2 14424 2lgsoddprmlem3 14429 2sqlem4 14435 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |