ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsmul1 GIF version

Theorem dvdsmul1 11819
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmul1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))

Proof of Theorem dvdsmul1
StepHypRef Expression
1 zcn 9257 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 zcn 9257 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 7939 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘))
41, 2, 3syl2anr 290 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘))
5 zmulcl 9305 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
6 dvds0lem 11807 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
76ex 115 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
873com12 1207 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
95, 8mpd3an3 1338 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
104, 9mpd 13 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808   ยท cmul 7815  โ„คcz 9252   โˆฅ cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-dvds 11794
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  11837  3dvdsdec  11869  3dvds2dec  11870  2teven  11891  opoe  11899  omoe  11900  z4even  11920  ndvdsi  11937  mulgcd  12016  dvdsmulgcd  12025  lcmval  12062  lcmcllem  12066  lcmgcdlem  12076  qredeq  12095  cncongr2  12103  nprm  12122  exprmfct  12137  prmdiv  12234  difsqpwdvds  12336  expnprm  12350  pockthlem  12353  evenennn  12393  lgsdir  14406  2lgsoddprmlem2  14424  2lgsoddprmlem3  14429  2sqlem4  14435
  Copyright terms: Public domain W3C validator