Theorem dvdsmul1 12364

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9474	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		zcn 9474	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		mulcom 8151	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
5		zmulcl 9523	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6		dvds0lem 12352	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))
7	6	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8	7	3com12 1231	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9	5, 8	mpd3an3 1372	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10	4, 9	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8020   · cmul 8027  ℤcz 9469   ∥ cdvds 12338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-dvds 12339

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  12382  3dvdsdec  12416  3dvds2dec  12417  2teven  12438  opoe  12446  omoe  12447  z4even  12467  ndvdsi  12484  bits0e  12500  bits0o  12501  mulgcd  12577  dvdsmulgcd  12586  lcmval  12625  lcmcllem  12629  lcmgcdlem  12639  qredeq  12658  cncongr2  12666  nprm  12685  exprmfct  12700  prmdiv  12797  difsqpwdvds  12901  expnprm  12916  pockthlem  12919  4sqlem14  12967  evenennn  13004  znunit  14663  mpodvdsmulf1o  15704  perfectlem1  15713  lgsdir  15754  lgsquadlem1  15796  lgsquad2lem1  15800  lgsquad2lem2  15801  2lgsoddprmlem2  15825  2lgsoddprmlem3  15830  2sqlem4  15837