![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divides | GIF version |
Description: Define the divides relation. ๐ โฅ ๐ means ๐ divides into ๐ with no remainder. For example, 3 โฅ 6 (ex-dvds 14778). As proven in dvdsval3 11812, ๐ โฅ ๐ โ (๐ mod ๐) = 0. See divides 11810 and dvdsval2 11811 for other equivalent expressions. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
divides | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-br 4016 | . . 3 โข (๐ โฅ ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ โฅ ) | |
2 | df-dvds 11809 | . . . 4 โข โฅ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} | |
3 | 2 | eleq2i 2254 | . . 3 โข (โจ๐, ๐โฉ โ โฅ โ โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)}) |
4 | 1, 3 | bitri 184 | . 2 โข (๐ โฅ ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)}) |
5 | oveq2 5896 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท ๐)) | |
6 | 5 | eqeq1d 2196 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ โ (๐ ยท ๐) = ๐ฆ)) |
7 | 6 | rexbidv 2488 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ฆ)) |
8 | eqeq2 2197 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = ๐ฆ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) | |
9 | 8 | rexbidv 2488 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ฆ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
10 | 7, 9 | opelopab2 4282 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
11 | 4, 10 | bitrid 192 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1363 โ wcel 2158 โwrex 2466 โจcop 3607 class class class wbr 4015 {copab 4075 (class class class)co 5888 ยท cmul 7830 โคcz 9267 โฅ cdvds 11808 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-rex 2471 df-v 2751 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-br 4016 df-opab 4077 df-iota 5190 df-fv 5236 df-ov 5891 df-dvds 11809 |
This theorem is referenced by: dvdsval2 11811 dvds0lem 11822 dvds1lem 11823 dvds2lem 11824 0dvds 11832 dvdsle 11864 divconjdvds 11869 odd2np1 11892 even2n 11893 oddm1even 11894 opeo 11916 omeo 11917 m1exp1 11920 divalgb 11944 modremain 11948 zeqzmulgcd 11985 gcddiv 12034 dvdssqim 12039 coprmdvds2 12107 congr 12114 divgcdcoprm0 12115 cncongr2 12118 dvdsnprmd 12139 prmpwdvds 12367 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |