ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divides GIF version

Theorem divides 11810
Description: Define the divides relation. ๐‘€ โˆฅ ๐‘ means ๐‘€ divides into ๐‘ with no remainder. For example, 3 โˆฅ 6 (ex-dvds 14778). As proven in dvdsval3 11812, ๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ mod ๐‘€) = 0. See divides 11810 and dvdsval2 11811 for other equivalent expressions. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divides ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem divides
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4016 . . 3 (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ โˆฅ )
2 df-dvds 11809 . . . 4 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
32eleq2i 2254 . . 3 (โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ โˆฅ โ†” โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
41, 3bitri 184 . 2 (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
5 oveq2 5896 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฅ) = (๐‘› ยท ๐‘€))
65eqeq1d 2196 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘ฆ))
76rexbidv 2488 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘ฆ))
8 eqeq2 2197 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
98rexbidv 2488 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
107, 9opelopab2 4282 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
114, 10bitrid 192 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  {copab 4075  (class class class)co 5888   ยท cmul 7830  โ„คcz 9267   โˆฅ cdvds 11808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-dvds 11809
This theorem is referenced by:  dvdsval2  11811  dvds0lem  11822  dvds1lem  11823  dvds2lem  11824  0dvds  11832  dvdsle  11864  divconjdvds  11869  odd2np1  11892  even2n  11893  oddm1even  11894  opeo  11916  omeo  11917  m1exp1  11920  divalgb  11944  modremain  11948  zeqzmulgcd  11985  gcddiv  12034  dvdssqim  12039  coprmdvds2  12107  congr  12114  divgcdcoprm0  12115  cncongr2  12118  dvdsnprmd  12139  prmpwdvds  12367
  Copyright terms: Public domain W3C validator