![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divides | GIF version |
Description: Define the divides relation. ๐ โฅ ๐ means ๐ divides into ๐ with no remainder. For example, 3 โฅ 6 (ex-dvds 14452). As proven in dvdsval3 11797, ๐ โฅ ๐ โ (๐ mod ๐) = 0. See divides 11795 and dvdsval2 11796 for other equivalent expressions. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
divides | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-br 4004 | . . 3 โข (๐ โฅ ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ โฅ ) | |
2 | df-dvds 11794 | . . . 4 โข โฅ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} | |
3 | 2 | eleq2i 2244 | . . 3 โข (โจ๐, ๐โฉ โ โฅ โ โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)}) |
4 | 1, 3 | bitri 184 | . 2 โข (๐ โฅ ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)}) |
5 | oveq2 5882 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท ๐)) | |
6 | 5 | eqeq1d 2186 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ โ (๐ ยท ๐) = ๐ฆ)) |
7 | 6 | rexbidv 2478 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ฆ)) |
8 | eqeq2 2187 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = ๐ฆ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) | |
9 | 8 | rexbidv 2478 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ฆ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
10 | 7, 9 | opelopab2 4270 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
11 | 4, 10 | bitrid 192 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1353 โ wcel 2148 โwrex 2456 โจcop 3595 class class class wbr 4003 {copab 4063 (class class class)co 5874 ยท cmul 7815 โคcz 9252 โฅ cdvds 11793 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4121 ax-pow 4174 ax-pr 4209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-rex 2461 df-v 2739 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-br 4004 df-opab 4065 df-iota 5178 df-fv 5224 df-ov 5877 df-dvds 11794 |
This theorem is referenced by: dvdsval2 11796 dvds0lem 11807 dvds1lem 11808 dvds2lem 11809 0dvds 11817 dvdsle 11849 divconjdvds 11854 odd2np1 11877 even2n 11878 oddm1even 11879 opeo 11901 omeo 11902 m1exp1 11905 divalgb 11929 modremain 11933 zeqzmulgcd 11970 gcddiv 12019 dvdssqim 12024 coprmdvds2 12092 congr 12099 divgcdcoprm0 12100 cncongr2 12103 dvdsnprmd 12124 prmpwdvds 12352 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |