Theorem ex-dvds 15021

Description: Example for df-dvds 11842: 3 divides into 6. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dvds	⊢ 3 ∥ 6

Proof of Theorem ex-dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9322	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		3z 9323	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		6nn 9125	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9315	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
5	1, 2, 4	3pm3.2i 1177	. 2 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ)
6		3cn 9035	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	6	2timesi 9090	. . 3 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
8		3p3e6 9102	. . 3 ⊢ (3 + 3) = 6
9	7, 8	eqtri 2210	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
10		dvds0lem 11855	. 2 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) ∧ (2 · 3) = 6) → 3 ∥ 6)
11	5, 9, 10	mp2an 426	1 ⊢ 3 ∥ 6

Syntax hints:   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4025  (class class class)co 5904   + caddc 7854   · cmul 7856  2c2 9011  3c3 9012  6c6 9015  ℤcz 9294   ∥ cdvds 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-addcom 7951  ax-mulcom 7952  ax-addass 7953  ax-mulass 7954  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0lt1 7957  ax-1rid 7958  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-cnre 7962  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965  ax-pre-ltadd 7967

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-sub 8171  df-neg 8172  df-inn 8961  df-2 9019  df-3 9020  df-4 9021  df-5 9022  df-6 9023  df-z 9295  df-dvds 11842

This theorem is referenced by: (None)