Theorem ex-dvds 16485

Description: Example for df-dvds 12467: 3 divides into 6. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dvds	⊢ 3 ∥ 6

Proof of Theorem ex-dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9601	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		3z 9602	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		6nn 9399	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9594	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
5	1, 2, 4	3pm3.2i 1202	. 2 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ)
6		3cn 9308	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	6	2timesi 9363	. . 3 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
8		3p3e6 9376	. . 3 ⊢ (3 + 3) = 6
9	7, 8	eqtri 2253	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
10		dvds0lem 12480	. 2 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) ∧ (2 · 3) = 6) → 3 ∥ 6)
11	5, 9, 10	mp2an 426	1 ⊢ 3 ∥ 6

Syntax hints:   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   + caddc 8126   · cmul 8128  2c2 9284  3c3 9285  6c6 9288  ℤcz 9573   ∥ cdvds 12466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-z 9574  df-dvds 12467

This theorem is referenced by: (None)