Theorem dvds0 11971

Description: Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Proof of Theorem dvds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9331	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mul02d 8418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 · 𝑁) = 0)
3		0z 9337	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		dvds0lem 11966	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 · 𝑁) = 0) → 𝑁 ∥ 0)
5	4	ex 115	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
6	3, 3, 5	mp3an13 1339	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 · 𝑁) = 0 → 𝑁 ∥ 0))
7	2, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  0cc0 7879   · cmul 7884  ℤcz 9326   ∥ cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-neg 8200  df-z 9327  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  0dvds  11976  fsumdvds  12007  alzdvds  12019  fzo0dvdseq  12022  z0even  12076  gcddvds  12130  gcd0id  12146  bezoutlemmain  12165  dfgcd3  12177  dfgcd2  12181  dvdssq  12198  dvdslcm  12237  lcmdvds  12247  mulgcddvds  12262  odzdvds  12414  pcdvdsb  12489  pcz  12501  lgsne0  15279