Theorem oddpwdclemxy 12866

Description: Lemma for oddpwdc 12871. Another way of stating that decomposing a natural number into a power of two and an odd number is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemxy	⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∧ 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem oddpwdclemxy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9399	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℕ)
3		simplll 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9699	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℤ)
5		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑌 ∈ ℕ0)
6	2, 5	nnexpcld 11057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9699	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋))
9	6, 3	nnmulcld 9286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) ∈ ℕ)
10	8, 9	eqeltrd 2309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 9699	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℤ)
12	6	nncnd 9251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
13	3	nncnd 9251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 8295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) = (𝑋 · (2↑𝑌)))
15	8, 14	eqtr2d 2266	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 · (2↑𝑌)) = 𝐴)
16		dvds0lem 12487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 · (2↑𝑌)) = 𝐴) → (2↑𝑌) ∥ 𝐴)
17	4, 7, 11, 15, 16	syl31anc 1277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∥ 𝐴)
18		simpllr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ 2 ∥ 𝑋)
19	8	breq2d 4121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋)))
20	2	nnzd 9699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℤ)
21	6	nnne0d 9282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ≠ 0)
22		dvdscmulr 12506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑌) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑌) ≠ 0)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋) ↔ 2 ∥ 𝑋))
23	20, 4, 7, 21, 22	syl112anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋) ↔ 2 ∥ 𝑋))
24	19, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝑋))
25	18, 24	mtbird 680	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ ((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴)
26	2	nncnd 9251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 5	expp1d 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(𝑌 + 1)) = ((2↑𝑌) · 2))
28	27	breq1d 4119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴))
29	25, 28	mtbird 680	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴)
30		pw2dvdseu 12865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
32		oveq2 6058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (2↑𝑧) = (2↑𝑌))
33	32	breq1d 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ↔ (2↑𝑌) ∥ 𝐴))
34		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 + 1) = (𝑌 + 1))
35	34	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (2↑(𝑧 + 1)) = (2↑(𝑌 + 1)))
36	35	breq1d 4119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴))
37	36	notbid 673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴))
38	33, 37	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ ((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴)))
39	38	riota2 6027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) → (((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌))
40	5, 31, 39	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌))
41	17, 29, 40	mpbi2and 952	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌)
42	41, 5	eqeltrd 2309	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0)
43	2, 42	nnexpcld 11057	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ)
44	43	nncnd 9251	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℂ)
45	43	nnap0d 9283	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) # 0)
46	41	eqcomd 2238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))
47	46	oveq2d 6066	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) = (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))
48	47	oveq1d 6065	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 𝑋))
49	8, 48	eqtr2d 2266	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 𝑋) = 𝐴)
50	44, 13, 45, 49	mvllmulapd 9116	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))
51	50, 46	jca 306	1 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∧ 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∃!wreu 2522   class class class wbr 4109  ℩crio 6002  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132   / cdiv 8946  ℕcn 9237  2c2 9288  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ↑cexp 10900   ∥ cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  oddpwdclemdc  12870