ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddpwdclemxy GIF version
Theorem oddpwdclemxy 12169
Description: Lemma for oddpwdc 12174. Another way of stating that decomposing a natural number into a power of two and an odd number is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddpwdclemxy ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ด   ๐‘ง,๐‘Œ
Allowed substitution hint:   ๐‘‹(๐‘ง)
Proof of Theorem oddpwdclemxy
StepHypRef Expression
1 2nn 9080 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
21a1i 9 . . . . 5 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
3 simplll 533 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
43nnzd 9374 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
5 simplr 528 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
62, 5nnexpcld 10676 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„•)
76nnzd 9374 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
8 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹))
96, 3nnmulcld 8968 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„•)
108, 9eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
1110nnzd 9374 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
126nncnd 8933 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
133nncnd 8933 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1412, 13mulcomd 7979 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹) = (๐‘‹ ยท (2โ†‘๐‘Œ)))
158, 14eqtr2d 2211 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (๐‘‹ ยท (2โ†‘๐‘Œ)) = ๐ด)
16 dvds0lem 11808 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ ยท (2โ†‘๐‘Œ)) = ๐ด) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆฅ ๐ด)
174, 7, 11, 15, 16syl31anc 1241 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆฅ ๐ด)
18 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹)
198breq2d 4016 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2) โˆฅ ๐ด โ†” ((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2) โˆฅ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)))
202nnzd 9374 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
216nnne0d 8964 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โ‰  0)
22 dvdscmulr 11827 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘Œ) โ‰  0)) โ†’ (((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2) โˆฅ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹) โ†” 2 โˆฅ ๐‘‹))
2320, 4, 7, 21, 22syl112anc 1242 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2) โˆฅ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹) โ†” 2 โˆฅ ๐‘‹))
2419, 23bitrd 188 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2) โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ ๐‘‹))
2518, 24mtbird 673 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ยฌ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2) โˆฅ ๐ด)
262nncnd 8933 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2726, 5expp1d 10655 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘(๐‘Œ + 1)) = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2))
2827breq1d 4014 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ((2โ†‘(๐‘Œ + 1)) โˆฅ ๐ด โ†” ((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2) โˆฅ ๐ด))
2925, 28mtbird 673 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ยฌ (2โ†‘(๐‘Œ + 1)) โˆฅ ๐ด)
30 pw2dvdseu 12168 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))
3110, 30syl 14 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))
32 oveq2 5883 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (2โ†‘๐‘ง) = (2โ†‘๐‘Œ))
3332breq1d 4014 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โ†” (2โ†‘๐‘Œ) โˆฅ ๐ด))
34 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง + 1) = (๐‘Œ + 1))
3534oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) = (2โ†‘(๐‘Œ + 1)))
3635breq1d 4014 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ ((2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด โ†” (2โ†‘(๐‘Œ + 1)) โˆฅ ๐ด))
3736notbid 667 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ (2โ†‘(๐‘Œ + 1)) โˆฅ ๐ด))
3833, 37anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด) โ†” ((2โ†‘๐‘Œ) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘Œ + 1)) โˆฅ ๐ด)))
3938riota2 5853 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((2โ†‘๐‘Œ) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘Œ + 1)) โˆฅ ๐ด) โ†” (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)) = ๐‘Œ))
405, 31, 39syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (((2โ†‘๐‘Œ) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘Œ + 1)) โˆฅ ๐ด) โ†” (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)) = ๐‘Œ))
4117, 29, 40mpbi2and 943 . . . . . 6 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)) = ๐‘Œ)
4241, 5eqeltrd 2254 . . . . 5 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)) โˆˆ โ„•0)
432, 42nnexpcld 10676 . . . 4 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆˆ โ„•)
4443nncnd 8933 . . 3 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
4543nnap0d 8965 . . 3 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) # 0)
4641eqcomd 2183 . . . . . 6 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))
4746oveq2d 5891 . . . . 5 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) = (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))
4847oveq1d 5890 . . . 4 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹) = ((2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) ยท ๐‘‹))
498, 48eqtr2d 2211 . . 3 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ((2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) ยท ๐‘‹) = ๐ด)
5044, 13, 45, 49mvllmulapd 8799 . 2 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))))
5150, 46jca 306 1 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆƒ!wreu 2457   class class class wbr 4004  โ„ฉcrio 5830  (class class class)co 5875  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ†‘cexp 10519   โˆฅ cdvds 11794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-dvds 11795
This theorem is referenced by:  oddpwdclemdc  12173
  Copyright terms: Public domain W3C validator