Theorem oddpwdclemxy 12123

Description: Lemma for oddpwdc 12128. Another way of stating that decomposing a natural number into a power of two and an odd number is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemxy	⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∧ 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem oddpwdclemxy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℕ)
3		simplll 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9333	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℤ)
5		simplr 525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑌 ∈ ℕ0)
6	2, 5	nnexpcld 10631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9333	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℤ)
8		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋))
9	6, 3	nnmulcld 8927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) ∈ ℕ)
10	8, 9	eqeltrd 2247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 9333	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℤ)
12	6	nncnd 8892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
13	3	nncnd 8892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 7941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) = (𝑋 · (2↑𝑌)))
15	8, 14	eqtr2d 2204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 · (2↑𝑌)) = 𝐴)
16		dvds0lem 11763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 · (2↑𝑌)) = 𝐴) → (2↑𝑌) ∥ 𝐴)
17	4, 7, 11, 15, 16	syl31anc 1236	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∥ 𝐴)
18		simpllr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ 2 ∥ 𝑋)
19	8	breq2d 4001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋)))
20	2	nnzd 9333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℤ)
21	6	nnne0d 8923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ≠ 0)
22		dvdscmulr 11782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑌) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑌) ≠ 0)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋) ↔ 2 ∥ 𝑋))
23	20, 4, 7, 21, 22	syl112anc 1237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋) ↔ 2 ∥ 𝑋))
24	19, 23	bitrd 187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝑋))
25	18, 24	mtbird 668	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ ((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴)
26	2	nncnd 8892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 5	expp1d 10610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(𝑌 + 1)) = ((2↑𝑌) · 2))
28	27	breq1d 3999	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴))
29	25, 28	mtbird 668	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴)
30		pw2dvdseu 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
32		oveq2 5861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (2↑𝑧) = (2↑𝑌))
33	32	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ↔ (2↑𝑌) ∥ 𝐴))
34		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 + 1) = (𝑌 + 1))
35	34	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (2↑(𝑧 + 1)) = (2↑(𝑌 + 1)))
36	35	breq1d 3999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴))
37	36	notbid 662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴))
38	33, 37	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ ((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴)))
39	38	riota2 5831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) → (((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌))
40	5, 31, 39	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌))
41	17, 29, 40	mpbi2and 938	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌)
42	41, 5	eqeltrd 2247	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0)
43	2, 42	nnexpcld 10631	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ)
44	43	nncnd 8892	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℂ)
45	43	nnap0d 8924	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) # 0)
46	41	eqcomd 2176	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))
47	46	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) = (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))
48	47	oveq1d 5868	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 𝑋))
49	8, 48	eqtr2d 2204	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 𝑋) = 𝐴)
50	44, 13, 45, 49	mvllmulapd 8759	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))
51	50, 46	jca 304	1 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∧ 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∃!wreu 2450   class class class wbr 3989  ℩crio 5808  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ↑cexp 10475   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  oddpwdclemdc  12127