Theorem oddpwdclemxy 12462

Description: Lemma for oddpwdc 12467. Another way of stating that decomposing a natural number into a power of two and an odd number is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemxy	⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∧ 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem oddpwdclemxy

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9197	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℕ)
3		simplll 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℤ)
5		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑌 ∈ ℕ0)
6	2, 5	nnexpcld 10838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋))
9	6, 3	nnmulcld 9084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) ∈ ℕ)
10	8, 9	eqeltrd 2281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 9493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℤ)
12	6	nncnd 9049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
13	3	nncnd 9049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 8093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) = (𝑋 · (2↑𝑌)))
15	8, 14	eqtr2d 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 · (2↑𝑌)) = 𝐴)
16		dvds0lem 12083	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 · (2↑𝑌)) = 𝐴) → (2↑𝑌) ∥ 𝐴)
17	4, 7, 11, 15, 16	syl31anc 1252	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ∥ 𝐴)
18		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ 2 ∥ 𝑋)
19	8	breq2d 4055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋)))
20	2	nnzd 9493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℤ)
21	6	nnne0d 9080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) ≠ 0)
22		dvdscmulr 12102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑌) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑌) ≠ 0)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋) ↔ 2 ∥ 𝑋))
23	20, 4, 7, 21, 22	syl112anc 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ ((2↑𝑌) · 𝑋) ↔ 2 ∥ 𝑋))
24	19, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝑋))
25	18, 24	mtbird 674	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ ((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴)
26	2	nncnd 9049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 5	expp1d 10817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(𝑌 + 1)) = ((2↑𝑌) · 2))
28	27	breq1d 4053	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑𝑌) · 2) ∥ 𝐴))
29	25, 28	mtbird 674	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴)
30		pw2dvdseu 12461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
32		oveq2 5951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (2↑𝑧) = (2↑𝑌))
33	32	breq1d 4053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ↔ (2↑𝑌) ∥ 𝐴))
34		oveq1 5950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 + 1) = (𝑌 + 1))
35	34	oveq2d 5959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (2↑(𝑧 + 1)) = (2↑(𝑌 + 1)))
36	35	breq1d 4053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴))
37	36	notbid 668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴))
38	33, 37	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ ((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴)))
39	38	riota2 5921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) → (((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌))
40	5, 31, 39	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (((2↑𝑌) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑌 + 1)) ∥ 𝐴) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌))
41	17, 29, 40	mpbi2and 945	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) = 𝑌)
42	41, 5	eqeltrd 2281	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0)
43	2, 42	nnexpcld 10838	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ)
44	43	nncnd 9049	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℂ)
45	43	nnap0d 9081	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) # 0)
46	41	eqcomd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))
47	46	oveq2d 5959	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (2↑𝑌) = (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))
48	47	oveq1d 5958	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑𝑌) · 𝑋) = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 𝑋))
49	8, 48	eqtr2d 2238	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 𝑋) = 𝐴)
50	44, 13, 45, 49	mvllmulapd 8914	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → 𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))
51	50, 46	jca 306	1 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = ((2↑𝑌) · 𝑋)) → (𝑋 = (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∧ 𝑌 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ∃!wreu 2485   class class class wbr 4043  ℩crio 5897  (class class class)co 5943  0cc0 7924  1c1 7925   + caddc 7927   · cmul 7929   / cdiv 8744  ℕcn 9035  2c2 9086  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371  ↑cexp 10681   ∥ cdvds 12069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-dvds 12070

This theorem is referenced by:  oddpwdclemdc  12466