Theorem dvds1lem 11728

Description: A lemma to assist theorems of ∥ with one antecedent. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvds1lem.1	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
dvds1lem.2	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
dvds1lem.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ ℤ)
dvds1lem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐽) = 𝐾 → (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
dvds1lem	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∥ 𝐾 → 𝑀 ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem dvds1lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvds1lem.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ ℤ)
2		dvds1lem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐽) = 𝐾 → (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))
3		oveq1 5843	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 · 𝑀) = (𝑍 · 𝑀))
4	3	eqeq1d 2173	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))
5	4	rspcev 2825	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁)
6	1, 2, 5	syl6an 1421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐽) = 𝐾 → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
7	6	rexlimdva 2581	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐽) = 𝐾 → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
8		dvds1lem.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
9		divides 11715	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐽) = 𝐾))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐽) = 𝐾))
11		dvds1lem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
12		divides 11715	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
14	7, 10, 13	3imtr4d 202	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∥ 𝐾 → 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∃wrex 2443   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   · cmul 7749  ℤcz 9182   ∥ cdvds 11713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-dvds 11714

This theorem is referenced by:  negdvdsb  11733  dvdsnegb  11734  muldvds1  11742  muldvds2  11743  dvdscmul  11744  dvdsmulc  11745  dvdscmulr  11746  dvdsmulcr  11747