Theorem divalgmod 12111

Description: The result of the mod operator satisfies the requirements for the remainder 𝑅 in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 12110 and divalgb 12109). This demonstration theorem justifies the use of mod to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by AV, 21-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalgmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))))

Proof of Theorem divalgmod

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
2	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
3		nnq 9726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℚ)
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℚ)
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℕ)
6	5	nngt0d 9053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
7	2, 4, 6	modqcld 10439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℚ)
8		snidg 3652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℚ → (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)})
10		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ (𝑁 mod 𝐷) ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}))
11	9, 10	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) → 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}))
12		elsni 3641	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} → 𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
13	11, 12	impbid1 142	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)}))
14		modqlt 10444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
15	2, 4, 6, 14	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
16		znq 9717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℚ)
17	16	flqcld 10386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
18		nnz 9364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℤ)
20		zmodcl 10455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
21	20	nn0zd 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
22		zsubcl 9386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
23	21, 22	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
24		nncn 9017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
26	17	zcnd 9468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
27	25, 26	mulcomd 8067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
28		modqval 10435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
29	2, 4, 6, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
30	20	nn0cnd 9323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
31		zmulcl 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
32	18, 17, 31	syl2an2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
33	32	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ)
34		zcn 9350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	30, 33, 35	subexsub 8417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
37	29, 36	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
38	27, 37	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
39		dvds0lem 11985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
40	17, 19, 23, 38, 39	syl31anc 1252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
41		divalg2 12110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
42		breq1 4037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑧 < 𝐷 ↔ (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷))
43		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
44	43	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
45	42, 44	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ ((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))))
46	45	riota2 5903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
47	20, 41, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
48	15, 40, 47	mpbi2and 945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷))
49	48	eqcomd 2202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))))
50	49	sneqd 3636	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
51		snriota 5910	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
52	41, 51	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
53	50, 52	eqtr4d 2232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))})
54	53	eleq2d 2266	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
55	13, 54	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ 𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
56		breq1 4037	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝑧 < 𝐷 ↔ 𝑅 < 𝐷))
57		oveq2 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − 𝑅))
58	57	breq2d 4046	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))
59	56, 58	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑅 → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
60	59	elrab 2920	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
61	55, 60	bitrdi 196	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃!wreu 2477  {crab 2479  {csn 3623   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  ℩crio 5879  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  0cc0 7898   · cmul 7903   < clt 8080   − cmin 8216   / cdiv 8718  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ℚcq 9712  ⌊cfl 10377   mod cmo 10433   ∥ cdvds 11971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-dvds 11972

This theorem is referenced by:  divalgmodcl  12112