Theorem dvdsmul2 12455

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)
3		dvds0lem 12442	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
4	2, 3	mpan2 425	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
5	1, 4	mpd3an3 1375	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   · cmul 8097  ℤcz 9540   ∥ cdvds 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-dvds 12429

This theorem is referenced by:  iddvdsexp  12456  dvdsmultr2  12474  dvdsfac  12501  dvdsexp  12502  bitsinv1lem  12602  dvdssqim  12675  lcmval  12715  lcmcllem  12719  qredeq  12748  cncongr1  12755  sqpweven  12827  2sqpwodd  12828  hashdvds  12873  phimullem  12877  difsqpwdvds  12991  oddprmdvds  13007  4sqlem8  13038  dec2dvds  13064  oddennn  13093  perfectlem2  15814  lgsdir2lem2  15848  gausslemma2dlem1f1o  15879  lgsquadlem2  15897  lgsquadlem3  15898  lgsquad2lem1  15900  lgsquad2lem2  15901  2sqlem3  15936  2sqlem8  15942