Theorem dvdsmul2 11996

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9396	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)
3		dvds0lem 11983	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
4	2, 3	mpan2 425	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
5	1, 4	mpd3an3 1349	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   · cmul 7901  ℤcz 9343   ∥ cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-dvds 11970

This theorem is referenced by:  iddvdsexp  11997  dvdsmultr2  12015  dvdsfac  12042  dvdsexp  12043  bitsinv1lem  12143  dvdssqim  12216  lcmval  12256  lcmcllem  12260  qredeq  12289  cncongr1  12296  sqpweven  12368  2sqpwodd  12369  hashdvds  12414  phimullem  12418  difsqpwdvds  12532  oddprmdvds  12548  4sqlem8  12579  dec2dvds  12605  oddennn  12634  perfectlem2  15320  lgsdir2lem2  15354  gausslemma2dlem1f1o  15385  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404  lgsquad2lem1  15406  lgsquad2lem2  15407  2sqlem3  15442  2sqlem8  15448