Theorem 1dvds 12427

Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem 1dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9527	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulridd 8239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3		1z 9548	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 12423	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl2 1369	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 577	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 421	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  1c1 8076   · cmul 8080  ℤcz 9522   ∥ cdvds 12409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-z 9523  df-dvds 12410

This theorem is referenced by:  dvds1  12475  gcdsupex  12589  gcdsupcl  12590  1idssfct  12748  isprm2lem  12749  dvdsprime  12755  pw2dvdslemn  12798  pclem0  12920  perfectlem2  15791