Theorem 1dvds 11741

Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem 1dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9192	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulid1d 7912	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3		1z 9213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 11737	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl2 1322	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 565	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 418	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  1c1 7750   · cmul 7754  ℤcz 9187   ∥ cdvds 11723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-z 9188  df-dvds 11724

This theorem is referenced by:  dvds1  11787  gcdsupex  11886  gcdsupcl  11887  1idssfct  12043  isprm2lem  12044  dvdsprime  12050  pw2dvdslemn  12093  pclem0  12214