Theorem 1dvds 12324

Description: 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem 1dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9459	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulridd 8171	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3		1z 9480	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 12320	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl2 1366	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 575	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 1) = 𝑁) → 1 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 421	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  1c1 8008   · cmul 8012  ℤcz 9454   ∥ cdvds 12306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-z 9455  df-dvds 12307

This theorem is referenced by:  dvds1  12372  gcdsupex  12486  gcdsupcl  12487  1idssfct  12645  isprm2lem  12646  dvdsprime  12652  pw2dvdslemn  12695  pclem0  12817  perfectlem2  15682