Theorem modm1div 12593

Description: An integer greater than one divides another integer minus one iff the second integer modulo the first integer is one. (Contributed by AV, 30-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
modm1div	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 1)))

Proof of Theorem modm1div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9948	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zq 10043	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℚ)
4		eluz2gt1 10019	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 < 𝑁)
6		q1mod 10815	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
7	6	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → 1 = (1 mod 𝑁))
8	3, 5, 7	syl2an2r 603	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 = (1 mod 𝑁))
9	8	eqeq2d 2250	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
10		eluz2nn 9983	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
13		1zzd 9683	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
14		moddvds 12592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 1)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 1)))
16	9, 15	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1c1 8187   < clt 8367   − cmin 8505  ℕcn 9314  2c2 9365  ℤcz 9656  ℤ_≥cuz 9938  ℚcq 10036   mod cmo 10781   ∥ cdvds 12580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fl 10723  df-mod 10782  df-dvds 12581

This theorem is used by:  modprm1div  13056