Theorem dvds2lem 11729

Description: A lemma to assist theorems of ∥ with two antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvds2lem.1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
dvds2lem.2	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
dvds2lem.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
dvds2lem.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ ℤ)
dvds2lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) → (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
dvds2lem	⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → 𝑀 ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvds2lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvds2lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
2		dvds2lem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3		divides 11715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 ∥ 𝐽 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽))
4		divides 11715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿))
5	3, 4	bi2anan9 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿)))
6	1, 2, 5	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿)))
7	6	biimpd 143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿)))
8		reeanv 2633	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿))
9	7, 8	syl6ibr 161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿)))
10		dvds2lem.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ ℤ)
11		dvds2lem.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) → (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))
12		oveq1 5843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 · 𝑀) = (𝑍 · 𝑀))
13	12	eqeq1d 2173	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))
14	13	rspcev 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁)
15	10, 11, 14	syl6an 1421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
16	15	rexlimdvva 2589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
17	9, 16	syld 45	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
18		dvds2lem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
19		divides 11715	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
20	18, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
21	17, 20	sylibrd 168	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∃wrex 2443   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   · cmul 7749  ℤcz 9182   ∥ cdvds 11713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-dvds 11714

This theorem is referenced by:  dvds2ln  11750  dvds2add  11751  dvds2sub  11752  dvdstr  11754