ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvds2lem GIF version

Theorem dvds2lem 11809
Description: A lemma to assist theorems of โˆฅ with two antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvds2lem.1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค))
dvds2lem.2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
dvds2lem.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
dvds2lem.4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
dvds2lem.5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
Assertion
Ref Expression
dvds2lem (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฟ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem dvds2lem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvds2lem.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค))
2 dvds2lem.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
3 divides 11795 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ โˆฅ ๐ฝ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ))
4 divides 11795 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐ฟ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ))
53, 4bi2anan9 606 . . . . . 6 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ)))
61, 2, 5syl2anc 411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ)))
76biimpd 144 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ)))
8 reeanv 2646 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ))
97, 8imbitrrdi 162 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ)))
10 dvds2lem.4 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11 dvds2lem.5 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
12 oveq1 5881 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘€) = (๐‘ ยท ๐‘€))
1312eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
1413rspcev 2841 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘)
1510, 11, 14syl6an 1434 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
1615rexlimdvva 2602 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
179, 16syld 45 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
18 dvds2lem.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
19 divides 11795 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
2018, 19syl 14 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
2117, 20sylibrd 169 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   ยท cmul 7815  โ„คcz 9252   โˆฅ cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-dvds 11794
This theorem is referenced by:  dvds2ln  11830  dvds2add  11831  dvds2sub  11832  dvdstr  11834
  Copyright terms: Public domain W3C validator