Theorem rexlimdvva 2656

Description: Inference from Theorem 19.23 of [Margaris] p. 90. (Restricted quantifier version.) (Contributed by NM, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexlimdvva.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝜓 → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexlimdvva	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝜒,𝑥,𝑦   𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rexlimdvva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexlimdvva.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝜓 → 𝜒))
2	1	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜓 → 𝜒)))
3	2	rexlimdvv 2655	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580  ax-i5r 1581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-ral 2513  df-rex 2514

This theorem is referenced by:  ovelrn  6154  f1o2ndf1  6374  eroveu  6773  eroprf  6775  genipv  7696  genpelvl  7699  genpelvu  7700  genprndl  7708  genprndu  7709  addlocpr  7723  addnqprlemrl  7744  addnqprlemru  7745  mulnqprlemrl  7760  mulnqprlemru  7761  ltsopr  7783  ltaddpr  7784  ltexprlemfl  7796  ltexprlemrl  7797  ltexprlemfu  7798  ltexprlemru  7799  cauappcvgprlemladdfu  7841  cauappcvgprlemladdfl  7842  caucvgprlemdisj  7861  caucvgprlemladdfu  7864  caucvgprprlemdisj  7889  apreap  8734  apreim  8750  apirr  8752  apsym  8753  apcotr  8754  apadd1  8755  apneg  8758  mulext1  8759  apti  8769  aprcl  8793  qapne  9834  qtri3or  10460  exbtwnzlemex  10469  rebtwn2z  10474  cjap  11417  rexanre  11731  climcn2  11820  summodc  11894  prodmodclem2  12088  prodmodc  12089  eirrap  12289  dvds2lem  12314  bezoutlemnewy  12517  bezoutlembi  12526  dvdsmulgcd  12546  divgcdcoprm0  12623  cncongr1  12625  sqrt2irrap  12702  pcqmul  12826  pcneg  12848  pcadd  12863  4sqlem1  12911  4sqlem2  12912  4sqlem4  12915  mul4sq  12917  4sqlem12  12925  4sqlem13m  12926  4sqlem18  12931  imasaddfnlemg  13347  imasmnd2  13485  imasgrp2  13647  imasrng  13919  imasring  14027  dvdsrtr  14065  isnzr2  14148  lss1d  14347  znidom  14621  restbasg  14842  txbas  14932  blin2  15106  xmettxlem  15183  xmettx  15184  addcncntoplem  15235  mulcncf  15282  plyf  15411  plyadd  15425  plymul  15426  plyco  15433  plycj  15435  plycn  15436  plyrecj  15437  dvply2g  15440  logbgcd1irr  15641  logbgcd1irrap  15644  2sqlem5  15798  2sqlem9  15803  upgrpredgv  15944  usgredg4  16013