Theorem dvdstr 12058

Description: The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdstr	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 996	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2		3simpc 998	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		3simpb 997	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		zmulcl 9408	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
5	4	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
6		oveq2 5942	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀))
8		eqeq2 2214	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀) ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → ((𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀) ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
10	7, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁)
11		zcn 9359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		zcn 9359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		zcn 9359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14		mulass 8038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑦 · 𝐾)))
15		mul12 8183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
16	14, 15	eqtrd 2237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
17	11, 12, 13, 16	syl3an 1291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
18	17	3comr 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
19	18	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
20	19	3ad2antl1 1161	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
21	20	eqeq1d 2213	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = 𝑁 ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
22	10, 21	imbitrrid 156	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = 𝑁))
23	1, 2, 3, 5, 22	dvds2lem 12033	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  ℂcc 7905   · cmul 7912  ℤcz 9354   ∥ cdvds 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-dvds 12018

This theorem is referenced by:  dvdstrd  12060  dvdsmultr1  12061  dvdsmultr2  12063  4dvdseven  12147  dvdsgcdb  12253  dvdsmulgcd  12265  gcddvdslcm  12314  lcmgcdeq  12324  lcmdvdsb  12325  mulgcddvds  12335  rpmulgcd2  12336  rpdvds  12340  exprmfct  12379  rpexp  12394  phimullem  12466  pcpremul  12535  pcdvdsb  12562  pcprmpw2  12575  mpodvdsmulf1o  15380  lgsquad2lem1  15476