Theorem elz 9345

Description: Membership in the set of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))

Proof of Theorem elz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2203	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
2		eleq1 2259	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
3		negeq 8236	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
4	3	eleq1d 2265	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 ∈ ℕ ↔ -𝑁 ∈ ℕ))
5	1, 2, 4	3orbi123d 1322	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
6		df-z 9344	. 2 ⊢ ℤ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ)}
7	5, 6	elrab2 2923	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ℝcr 7895  0cc0 7896  -cneg 8215  ℕcn 9007  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8217  df-z 9344

This theorem is referenced by:  nnnegz  9346  zre  9347  elnnz  9353  0z  9354  elnn0z  9356  elznn0nn  9357  elznn0  9358  elznn  9359  znegcl  9374  zaddcl  9383  ztri3or0  9385  zeo  9448  addmodlteq  10507  zabsle1  15324