Theorem elz 9469

Description: Membership in the set of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))

Proof of Theorem elz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2236	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
2		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
3		negeq 8360	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
4	3	eleq1d 2298	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 ∈ ℕ ↔ -𝑁 ∈ ℕ))
5	1, 2, 4	3orbi123d 1345	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
6		df-z 9468	. 2 ⊢ ℤ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ)}
7	5, 6	elrab2 2963	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ℝcr 8019  0cc0 8020  -cneg 8339  ℕcn 9131  ℤcz 9467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-iota 5282  df-fv 5330  df-ov 6014  df-neg 8341  df-z 9468

This theorem is referenced by:  nnnegz  9470  zre  9471  elnnz  9477  0z  9478  elnn0z  9480  elznn0nn  9481  elznn0  9482  elznn  9483  znegcl  9498  zaddcl  9507  ztri3or0  9509  zeo  9573  addmodlteq  10648  zabsle1  15715