Theorem 0z 9354

Description: Zero is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0z	⊢ 0 ∈ ℤ

Proof of Theorem 0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8043	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ 0 = 0
3	2	3mix1i 1171	. 2 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 ∈ ℕ ∨ -0 ∈ ℕ)
4		elz 9345	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ (0 ∈ ℝ ∧ (0 = 0 ∨ 0 ∈ ℕ ∨ -0 ∈ ℕ)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 944	1 ⊢ 0 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ℝcr 7895  0cc0 7896  -cneg 8215  ℕcn 9007  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-rnegex 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8217  df-z 9344

This theorem is referenced by:  0zd  9355  nn0ssz  9361  znegcl  9374  zgt0ge1  9401  nn0n0n1ge2b  9422  nn0lt10b  9423  nnm1ge0  9429  gtndiv  9438  msqznn  9443  zeo  9448  nn0ind  9457  fnn0ind  9459  nn0uz  9653  1eluzge0  9665  elnn0dc  9702  eqreznegel  9705  qreccl  9733  qdivcl  9734  irrmul  9738  irrmulap  9739  fz10  10138  fz01en  10145  fzpreddisj  10163  fzshftral  10200  fznn0  10205  fz1ssfz0  10209  fz0sn  10213  fz0tp  10214  fz0to3un2pr  10215  fz0to4untppr  10216  elfz0ubfz0  10217  1fv  10231  lbfzo0  10274  elfzonlteqm1  10303  fzo01  10309  fzo0to2pr  10311  fzo0to3tp  10312  flqge0nn0  10400  divfl0  10403  btwnzge0  10407  modqmulnn  10451  zmodfz  10455  modqid  10458  zmodid2  10461  q0mod  10464  modqmuladdnn0  10477  frecfzennn  10535  xnn0nnen  10546  qexpclz  10669  qsqeqor  10759  facdiv  10847  bcval  10858  bcnn  10866  bcm1k  10869  bcval5  10872  bcpasc  10875  4bc2eq6  10883  hashinfom  10887  iswrd  10954  iswrdiz  10959  wrdexg  10963  wrdfin  10971  wrdnval  10982  wrdred1hash  10995  rexfiuz  11171  qabsor  11257  nn0abscl  11267  nnabscl  11282  climz  11474  climaddc1  11511  climmulc2  11513  climsubc1  11514  climsubc2  11515  climlec2  11523  binomlem  11665  binom  11666  bcxmas  11671  arisum2  11681  explecnv  11687  ef0lem  11842  dvdsval2  11972  dvdsdc  11980  moddvds  11981  dvds0  11988  0dvds  11993  zdvdsdc  11994  dvdscmulr  12002  dvdsmulcr  12003  fsumdvds  12024  dvdslelemd  12025  dvdsabseq  12029  divconjdvds  12031  alzdvds  12036  fzo0dvdseq  12039  odd2np1lem  12054  bitsfzo  12137  bitsmod  12138  0bits  12141  m1bits  12142  bitsinv1lem  12143  bitsinv1  12144  gcdmndc  12147  gcdsupex  12149  gcdsupcl  12150  gcd0val  12152  gcddvds  12155  gcd0id  12171  gcdid0  12172  gcdid  12178  bezoutlema  12191  bezoutlemb  12192  bezoutlembi  12197  dfgcd3  12202  dfgcd2  12206  gcdmultiplez  12213  dvdssq  12223  algcvgblem  12242  lcmmndc  12255  lcm0val  12258  dvdslcm  12262  lcmeq0  12264  lcmgcd  12271  lcmdvds  12272  lcmid  12273  3lcm2e6woprm  12279  6lcm4e12  12280  cncongr2  12297  sqrt2irrap  12373  dfphi2  12413  phiprmpw  12415  crth  12417  phimullem  12418  eulerthlemfi  12421  hashgcdeq  12433  phisum  12434  pceu  12489  pcdiv  12496  pc0  12498  pcqdiv  12501  pcexp  12503  pcxnn0cl  12504  pcxcl  12505  pcxqcl  12506  pcdvdstr  12521  dvdsprmpweqnn  12530  pcaddlem  12533  pcadd  12534  pcfaclem  12543  qexpz  12546  zgz  12567  igz  12568  4sqlem19  12603  ennnfonelemjn  12644  ennnfonelem1  12649  mulg0  13331  subgmulg  13394  zring0  14232  zndvds0  14282  znf1o  14283  znfi  14287  znhash  14288  psr1clfi  14316  plycolemc  15078  rpcxp0  15218  0sgm  15305  1sgmprm  15314  lgslem2  15326  lgsfcl2  15331  lgs0  15338  lgsneg  15349  lgsdilem  15352  lgsdir2lem3  15355  lgsdir  15360  lgsdilem2  15361  lgsdi  15362  lgsne0  15363  lgsprme0  15367  lgsdirnn0  15372  lgsdinn0  15373  apdifflemr  15778  apdiff  15779  iswomni0  15782  nconstwlpolem  15796