Theorem 0z 9356

Description: Zero is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0z	⊢ 0 ∈ ℤ

Proof of Theorem 0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8045	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ 0 = 0
3	2	3mix1i 1171	. 2 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 ∈ ℕ ∨ -0 ∈ ℕ)
4		elz 9347	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ (0 ∈ ℝ ∧ (0 = 0 ∨ 0 ∈ ℕ ∨ -0 ∈ ℕ)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 944	1 ⊢ 0 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ℝcr 7897  0cc0 7898  -cneg 8217  ℕcn 9009  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995  ax-rnegex 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8219  df-z 9346

This theorem is referenced by:  0zd  9357  nn0ssz  9363  znegcl  9376  zgt0ge1  9403  nn0n0n1ge2b  9424  nn0lt10b  9425  nnm1ge0  9431  gtndiv  9440  msqznn  9445  zeo  9450  nn0ind  9459  fnn0ind  9461  nn0uz  9655  1eluzge0  9667  elnn0dc  9704  eqreznegel  9707  qreccl  9735  qdivcl  9736  irrmul  9740  irrmulap  9741  fz10  10140  fz01en  10147  fzpreddisj  10165  fzshftral  10202  fznn0  10207  fz1ssfz0  10211  fz0sn  10215  fz0tp  10216  fz0to3un2pr  10217  fz0to4untppr  10218  elfz0ubfz0  10219  1fv  10233  lbfzo0  10276  elfzonlteqm1  10305  fzo01  10311  fzo0to2pr  10313  fzo0to3tp  10314  flqge0nn0  10402  divfl0  10405  btwnzge0  10409  modqmulnn  10453  zmodfz  10457  modqid  10460  zmodid2  10463  q0mod  10466  modqmuladdnn0  10479  frecfzennn  10537  xnn0nnen  10548  qexpclz  10671  qsqeqor  10761  facdiv  10849  bcval  10860  bcnn  10868  bcm1k  10871  bcval5  10874  bcpasc  10877  4bc2eq6  10885  hashinfom  10889  iswrd  10956  iswrdiz  10961  wrdexg  10965  wrdfin  10973  wrdnval  10984  wrdred1hash  10997  rexfiuz  11173  qabsor  11259  nn0abscl  11269  nnabscl  11284  climz  11476  climaddc1  11513  climmulc2  11515  climsubc1  11516  climsubc2  11517  climlec2  11525  binomlem  11667  binom  11668  bcxmas  11673  arisum2  11683  explecnv  11689  ef0lem  11844  dvdsval2  11974  dvdsdc  11982  moddvds  11983  dvds0  11990  0dvds  11995  zdvdsdc  11996  dvdscmulr  12004  dvdsmulcr  12005  fsumdvds  12026  dvdslelemd  12027  dvdsabseq  12031  divconjdvds  12033  alzdvds  12038  fzo0dvdseq  12041  odd2np1lem  12056  bitsfzo  12139  bitsmod  12140  0bits  12143  m1bits  12144  bitsinv1lem  12145  bitsinv1  12146  gcdmndc  12149  gcdsupex  12151  gcdsupcl  12152  gcd0val  12154  gcddvds  12157  gcd0id  12173  gcdid0  12174  gcdid  12180  bezoutlema  12193  bezoutlemb  12194  bezoutlembi  12199  dfgcd3  12204  dfgcd2  12208  gcdmultiplez  12215  dvdssq  12225  algcvgblem  12244  lcmmndc  12257  lcm0val  12260  dvdslcm  12264  lcmeq0  12266  lcmgcd  12273  lcmdvds  12274  lcmid  12275  3lcm2e6woprm  12281  6lcm4e12  12282  cncongr2  12299  sqrt2irrap  12375  dfphi2  12415  phiprmpw  12417  crth  12419  phimullem  12420  eulerthlemfi  12423  hashgcdeq  12435  phisum  12436  pceu  12491  pcdiv  12498  pc0  12500  pcqdiv  12503  pcexp  12505  pcxnn0cl  12506  pcxcl  12507  pcxqcl  12508  pcdvdstr  12523  dvdsprmpweqnn  12532  pcaddlem  12535  pcadd  12536  pcfaclem  12545  qexpz  12548  zgz  12569  igz  12570  4sqlem19  12605  ennnfonelemjn  12646  ennnfonelem1  12651  mulg0  13333  subgmulg  13396  zring0  14234  zndvds0  14284  znf1o  14285  znfi  14289  znhash  14290  psr1clfi  14322  plycolemc  15102  rpcxp0  15242  0sgm  15329  1sgmprm  15338  lgslem2  15350  lgsfcl2  15355  lgs0  15362  lgsneg  15373  lgsdilem  15376  lgsdir2lem3  15379  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387  lgsprme0  15391  lgsdirnn0  15396  lgsdinn0  15397  apdifflemr  15804  apdiff  15805  iswomni0  15808  nconstwlpolem  15822