Theorem ztri3or0 9254

Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem ztri3or0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9214	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2	1	simprbi 273	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3		idd 21	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0))
4		nngt0 8903	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁))
6		nngt0 8903	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
7		zre 9216	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	lt0neg1d 8434	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
9	6, 8	syl5ibr 155	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
10	3, 5, 9	3orim123d 1315	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0)))
11	2, 10	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
12		3orrot 979	. 2 ⊢ ((𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
13	11, 12	sylibr 133	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773  0cc0 7774   < clt 7954  -cneg 8091  ℕcn 8878  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-z 9213

This theorem is referenced by:  ztri3or  9255  zdvdsdc  11774  divalglemex  11881  divalg  11883  bezoutlemmain  11953