ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ztri3or0 GIF version

Theorem ztri3or0 9064
Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ztri3or0 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem ztri3or0
StepHypRef Expression
1 elz 9024 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
21simprbi 273 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3 idd 21 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0))
4 nngt0 8713 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
54a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁))
6 nngt0 8713 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
7 zre 9026 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
87lt0neg1d 8245 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
96, 8syl5ibr 155 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
103, 5, 93orim123d 1283 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0)))
112, 10mpd 13 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0))
12 3orrot 953 . 2 ((𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0))
1311, 12sylibr 133 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 946   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587  0cc0 7588   < clt 7768  -cneg 7902  cn 8688  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-z 9023
This theorem is referenced by:  ztri3or  9065  zdvdsdc  11441  divalglemex  11546  divalg  11548  bezoutlemmain  11613
  Copyright terms: Public domain W3C validator