Theorem ztri3or0 8994

Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem ztri3or0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 8954	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2	1	simprbi 271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3		idd 21	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0))
4		nngt0 8649	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁))
6		nngt0 8649	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
7		zre 8956	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	lt0neg1d 8190	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
9	6, 8	syl5ibr 155	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
10	3, 5, 9	3orim123d 1279	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0)))
11	2, 10	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
12		3orrot 949	. 2 ⊢ ((𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
13	11, 12	sylibr 133	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 942   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   class class class wbr 3893  ℝcr 7540  0cc0 7541   < clt 7718  -cneg 7851  ℕcn 8624  ℤcz 8952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-z 8953

This theorem is referenced by:  ztri3or  8995  zdvdsdc  11356  divalglemex  11461  divalg  11463  bezoutlemmain  11526