Theorem ztri3or0 9484

Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem ztri3or0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9444	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2	1	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3		idd 21	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0))
4		nngt0 9131	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁))
6		nngt0 9131	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
7		zre 9446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	lt0neg1d 8658	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
10	3, 5, 9	3orim123d 1354	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0)))
11	2, 10	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
12		3orrot 1008	. 2 ⊢ ((𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁 ∨ 𝑁 < 0))
13	11, 12	sylibr 134	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994  0cc0 7995   < clt 8177  -cneg 8314  ℕcn 9106  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-z 9443

This theorem is referenced by:  ztri3or  9485  zdvdsdc  12318  divalglemex  12428  divalg  12430  bezoutlemmain  12514  mulgval  13654  mulgfng  13656  subgmulg  13720