ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ztri3or0 GIF version

Theorem ztri3or0 9281
Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ztri3or0 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem ztri3or0
StepHypRef Expression
1 elz 9241 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
21simprbi 275 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3 idd 21 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0))
4 nngt0 8930 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
54a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁))
6 nngt0 8930 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
7 zre 9243 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
87lt0neg1d 8459 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
96, 8syl5ibr 156 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
103, 5, 93orim123d 1320 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0)))
112, 10mpd 13 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0))
12 3orrot 984 . 2 ((𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0))
1311, 12sylibr 134 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cr 7798  0cc0 7799   < clt 7979  -cneg 8116  cn 8905  cz 9239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-z 9240
This theorem is referenced by:  ztri3or  9282  zdvdsdc  11800  divalglemex  11907  divalg  11909  bezoutlemmain  11979  mulgval  12872  mulgfng  12873
  Copyright terms: Public domain W3C validator