ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ztri3or0 GIF version

Theorem ztri3or0 9119
Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ztri3or0 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem ztri3or0
StepHypRef Expression
1 elz 9079 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
21simprbi 273 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3 idd 21 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0))
4 nngt0 8768 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
54a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁))
6 nngt0 8768 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
7 zre 9081 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
87lt0neg1d 8300 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
96, 8syl5ibr 155 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
103, 5, 93orim123d 1299 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0)))
112, 10mpd 13 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0))
12 3orrot 969 . 2 ((𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁𝑁 < 0))
1311, 12sylibr 133 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 0 ∨ 𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  cr 7642  0cc0 7643   < clt 7823  -cneg 7957  cn 8743  cz 9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-z 9078
This theorem is referenced by:  ztri3or  9120  zdvdsdc  11548  divalglemex  11653  divalg  11655  bezoutlemmain  11720
  Copyright terms: Public domain W3C validator