Theorem zaddcl 9291

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9253	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2	1	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
4		zcn 9256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
6	5	addid1d 8104	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	6, 7	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) ∈ ℤ)
9		oveq2 5882	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
10	9	eleq1d 2246	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 0) ∈ ℤ))
11	8, 10	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
12		zaddcllempos 9288	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
15		zre 9255	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		zaddcllemneg 9290	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	3expia 1205	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
18	15, 17	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
19	11, 14, 18	3jaod 1304	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
20	3, 19	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  ℝcr 7809  0cc0 7810   + caddc 7813  -cneg 8127  ℕcn 8917  ℤcz 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252

This theorem is referenced by:  zsubcl  9292  zrevaddcl  9301  zdivadd  9340  zaddcld  9377  eluzaddi  9552  eluzsubi  9553  eluzadd  9554  nn0pzuz  9585  fzen  10040  fzaddel  10056  fzrev3  10084  fzrevral3  10104  elfzmlbp  10129  fzoaddel  10189  zpnn0elfzo  10204  elfzomelpfzo  10228  fzoshftral  10235  climshftlemg  11305  fsumzcl  11405  summodnegmod  11824  dvds2ln  11826  dvds2add  11827  dvdsadd  11838  dvdsadd2b  11842  addmodlteqALT  11859  3dvdsdec  11864  3dvds2dec  11865  opoe  11894  opeo  11896  ndvdsadd  11930  pythagtriplem9  12267  difsqpwdvds  12331  gzaddcl  12369  zsubrg  13406  zringmulg  13419