Theorem zaddcl 9252

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9214	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2	1	simprbi 273	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3	2	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
4		zcn 9217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5	4	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
6	5	addid1d 8068	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
7		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	6, 7	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 0) ∈ ℤ)
9		oveq2 5861	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
10	9	eleq1d 2239	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 0) ∈ ℤ))
11	8, 10	syl5ibrcom 156	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
12		zaddcllempos 9249	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
14	13	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
15		zre 9216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		zaddcllemneg 9251	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	3expia 1200	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
18	15, 17	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
19	11, 14, 18	3jaod 1299	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
20	3, 19	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777  -cneg 8091  ℕcn 8878  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  zsubcl  9253  zrevaddcl  9262  zdivadd  9301  zaddcld  9338  eluzaddi  9513  eluzsubi  9514  eluzadd  9515  nn0pzuz  9546  fzen  9999  fzaddel  10015  fzrev3  10043  fzrevral3  10063  elfzmlbp  10088  fzoaddel  10148  zpnn0elfzo  10163  elfzomelpfzo  10187  fzoshftral  10194  climshftlemg  11265  fsumzcl  11365  summodnegmod  11784  dvds2ln  11786  dvds2add  11787  dvdsadd  11798  dvdsadd2b  11802  addmodlteqALT  11819  3dvdsdec  11824  3dvds2dec  11825  opoe  11854  opeo  11856  ndvdsadd  11890  pythagtriplem9  12227  difsqpwdvds  12291  gzaddcl  12329