Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnz GIF version

Theorem elnnz 8823
 Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 8492 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 orc 669 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
3 nngt0 8510 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
41, 2, 3jca31 303 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
5 idd 21 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ))
6 lt0neg2 8010 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
7 renegcl 7806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 ∈ ℝ)
8 0re 7551 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
9 ltnsym 7634 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
107, 8, 9sylancl 405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
116, 10sylbid 149 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ¬ 0 < -𝑁))
1211imp 123 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 0 < -𝑁)
13 nngt0 8510 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
1412, 13nsyl 594 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
15 gt0ne0 7968 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
1615neneqd 2277 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
17 ioran 705 . . . . . . . . 9 (¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ -𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 0))
1814, 16, 17sylanbrc 409 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
1918pm2.21d 585 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ))
205, 19jaod 673 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ))
2120ex 114 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)))
2221com23 78 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2322imp31 253 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
244, 23impbii 125 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
25 elz 8815 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
26 3orrot 931 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27 3orass 928 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2826, 27bitri 183 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2928anbi2i 446 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
3025, 29bitri 183 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
3130anbi1i 447 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
3224, 31bitr4i 186 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 665   ∨ w3o 924   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853  ℝcr 7412  0cc0 7413   < clt 7585  -cneg 7717  ℕcn 8485  ℤcz 8813 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-z 8814 This theorem is referenced by:  nnssz  8830  elnnz1  8836  znnsub  8864  nn0ge0div  8896  msqznn  8909  elfz1b  9567  lbfzo0  9655  fzo1fzo0n0  9657  elfzo0z  9658  fzofzim  9662  elfzodifsumelfzo  9675  exp3val  10020  nnesq  10136  nnabscl  10596  cvgratnnlemabsle  10984  nndivdvds  11143  zdvdsdc  11158  oddge22np1  11222  evennn2n  11224  nno  11247  nnoddm1d2  11251  divalglemex  11263  divalglemeuneg  11264  divalg  11265  ndvdsadd  11272  sqgcd  11359  qredeu  11420  prmind2  11443  sqrt2irrlem  11481  sqrt2irrap  11499  qgt0numnn  11518
 Copyright terms: Public domain W3C validator