Theorem elnnz 9489

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9150	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		orc 719	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
3		nngt0 9168	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	1, 2, 3	jca31 309	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
5		idd 21	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ))
6		lt0neg2 8649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
7		renegcl 8440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 ∈ ℝ)
8		0re 8179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ltnsym 8265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
11	6, 10	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ¬ 0 < -𝑁))
12	11	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 0 < -𝑁)
13		nngt0 9168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
14	12, 13	nsyl 633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
15		gt0ne0 8607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
16	15	neneqd 2423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
17		ioran 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ -𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 0))
18	14, 16, 17	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
19	18	pm2.21d 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ))
20	5, 19	jaod 724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ))
21	20	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)))
22	21	com23 78	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ)))
23	22	imp31 256	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	4, 23	impbii 126	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
25		elz 9481	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
26		3orrot 1010	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27		3orass 1007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
28	26, 27	bitri 184	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
29	28	anbi2i 457	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
30	25, 29	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
31	30	anbi1i 458	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
32	24, 31	bitr4i 187	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  0cc0 8032   < clt 8214  -cneg 8351  ℕcn 9143  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-z 9480

This theorem is referenced by:  nnssz  9496  elnnz1  9502  znnsub  9531  nn0ge0div  9567  msqznn  9580  elpq  9883  elfz1b  10325  lbfzo0  10420  fzo1fzo0n0  10423  elfzo0z  10424  fzofzim  10428  elfzodifsumelfzo  10447  exp3val  10804  nnesq  10922  swrdlsw  11254  pfxccatin12lem3  11317  nnabscl  11678  cvgratnnlemabsle  12106  p1modz1  12373  nndivdvds  12375  zdvdsdc  12391  oddge22np1  12460  evennn2n  12462  nno  12485  nnoddm1d2  12489  divalglemex  12501  divalglemeuneg  12502  divalg  12503  ndvdsadd  12510  bitsfzolem  12533  sqgcd  12618  qredeu  12687  prmind2  12710  sqrt2irrlem  12751  sqrt2irrap  12770  qgt0numnn  12789  oddprm  12850  pythagtriplem6  12861  pythagtriplem11  12865  pythagtriplem13  12867  pythagtriplem19  12873  pc2dvds  12921  pcadd  12931  4sqlem11  12992  4sqlem12  12993  mulgval  13727  mulgfng  13729  subgmulg  13793  znidomb  14691  sgmnncl  15731  mersenne  15740  gausslemma2dlem1a  15806  lgseisenlem1  15818  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  2sqlem8  15871