Theorem zre 9659

Description: An integer is a real. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zre	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem zre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9657	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ℝcr 8184  0cc0 8185   -cneg 8505  ℕcn 9313  ℤcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9656

This theorem is used by:  zcn  9660  zrei  9661  zssre  9662  elnn0z  9668  elnnz1  9678  peano2z  9691  zaddcl  9695  ztri3or0  9697  ztri3or  9698  zletric  9699  zlelttric  9700  zltnle  9701  zleloe  9702  zletr  9705  znnsub  9707  nzadd  9708  zltp1le  9710  zleltp1  9711  znn0sub  9721  zapne  9730  zdceq  9731  zdcle  9732  zdclt  9733  zltlen  9735  nn0ge0div  9744  zextle  9748  btwnnz  9751  suprzclex  9755  msqznn  9757  peano2uz2  9764  uzind  9768  fzind  9772  fnn0ind  9773  eluzuzle  9946  uzid  9952  uzneg  9957  uz11  9961  eluzp1m1  9962  eluzp1p1  9964  eluzaddi  9965  eluzsubi  9966  uzin  9971  uz3m2nn  9989  peano2uz  9999  nn0pzuz  10003  eluz2b2  10019  uz2mulcl  10024  eqreznegel  10030  lbzbi  10032  qre  10041  elpq  10066  zltaddlt1le  10427  elfz1eq  10456  fznlem  10462  fzen  10464  uzsubsubfz  10469  fzaddel  10482  fzsuc2  10503  fzp1disj  10504  fzrev  10508  elfz1b  10514  fzneuz  10525  fzp1nel  10528  elfz0fzfz0  10550  fz0fzelfz0  10551  fznn0sub2  10552  fz0fzdiffz0  10554  elfzmlbp  10556  difelfznle  10559  nelfzo  10576  elfzouz2  10586  fzo0n  10592  fzonlt0  10593  fzossrbm1  10599  fzo1fzo0n0  10612  elfzo0z  10613  fzofzim  10617  eluzgtdifelfzo  10632  fzossfzop1  10647  ssfzo12bi  10660  elfzomelpfzo  10666  fzosplitprm1  10670  fzostep1  10673  infssuzex  10683  flid  10740  flqbi2  10747  2tnp1ge0ge0  10757  flhalf  10758  fldiv4p1lem1div2  10761  fldiv4lem1div2uz2  10762  ceiqle  10771  uzsinds  10902  zsqcl2  11075  ssenneg  11302  ccatsymb  11392  ccatval21sw  11395  lswccatn0lsw  11401  swrd0g  11454  swrdswrdlem  11498  swrdswrd  11499  swrdccatin2  11523  pfxccatin12lem2  11525  pfxccatin12lem3  11526  nn0abscl  11874  zmaxcl  12013  2zsupmax  12015  zmincl  12029  2zinfmin  12034  p1modz1  12586  evennn02n  12674  evennn2n  12675  ltoddhalfle  12685  bitsp1o  12745  dfgcd2  12816  algcvga  12854  isprm3  12921  dvdsnprmd  12928  sqnprm  12940  zgcdsq  13006  hashdvds  13028  fldivp1  13156  zgz  13181  4sqlem4  13200  4sqexercise1  13206  mulgval  13984  coskpi  16075  relogexp  16102  rplogbzexp  16190  ppiprm  16259  chtprm  16261  zabsle1  16323  lgsne0  16362  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem3  16387  gausslemma2dlem4  16388  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  2lgslem1a1  16410  2lgslem1a2  16411  2sqlem2  16439  clwwlkext2edg  16868