Theorem elznn 9198

Description: Integer property expressed in terms of positive integers and nonnegative integers. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elznn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem elznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9184	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		3orrot 973	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3		3orass 970	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
4	2, 3	bitri 183	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
5		elnn0 9107	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0))
6		recn 7877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	negeq0d 8192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
8	7	orbi2d 780	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0)))
9	5, 8	bitr4id 198	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
10	9	orbi2d 780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
11	4, 10	bitr4id 198	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
12	11	pm5.32i 450	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
13	1, 12	bitri 183	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∨ w3o 966   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ℝcr 7743  0cc0 7744  -cneg 8061  ℕcn 8848  ℕ₀cn0 9105  ℤcz 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-setind 4508  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-sub 8062  df-neg 8063  df-n0 9106  df-z 9183

This theorem is referenced by:  znnen  12268  logbgcd1irraplemexp  13427