Theorem nnnegz 9543

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9209	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8618	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3		nncn 9210	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		negneg 8488	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
5	4	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (--𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
6	5	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ))
7	3, 6	mpcom 36	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ)
8	7	3mix3d 1201	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 9542	. 2 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ℂcc 8090  ℝcr 8091  0cc0 8092  -cneg 8410  ℕcn 9202  ℤcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-z 9541

This theorem is referenced by:  znegcl  9571  neg1z  9572  zeo  9646  btwnz  9660  expaddzaplem  10907  mulgnegnn  13799  mulgneg2  13823