Theorem nnnegz 9658

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9320	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8714	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3		nncn 9321	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		negneg 8583	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → - -𝑁 = 𝑁)
5	4	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ( - -𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
6	5	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → - -𝑁 ∈ ℕ))
7	3, 6	mpcom 36	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → - -𝑁 ∈ ℕ)
8	7	3mix3d 1205	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( -𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ - -𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 9657	. 2 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℤ ↔ ( -𝑁 ∈ ℝ ∧ ( -𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ - -𝑁 ∈ ℕ)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185   -cneg 8505  ℕcn 9313  ℤcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9656

This theorem is used by:  znegcl  9686  neg1z  9687  zeo  9762  btwnz  9776  expaddzaplem  11040  mulgnegnn  13994  mulgneg2  14018