Theorem nnnegz 9258

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8928	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 8339	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3		nncn 8929	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		negneg 8209	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
5	4	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (--𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
6	5	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ))
7	3, 6	mpcom 36	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ)
8	7	3mix3d 1174	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 9257	. 2 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813  -cneg 8131  ℕcn 8921  ℤcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256

This theorem is referenced by:  znegcl  9286  neg1z  9287  zeo  9360  btwnz  9374  expaddzaplem  10565  mulgnegnn  12998  mulgneg2  13022