Theorem zeo 9422

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9319	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		oveq1 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3		2cn 9053	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ap0 9075	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
5	3, 4	div0api 8765	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) = 0
6		0z 9328	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	5, 6	eqeltri 2266	. . . . . 6 ⊢ (0 / 2) ∈ ℤ
8	2, 7	eqeltrdi 2284	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9	8	orcd 734	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11		nneoor 9419	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
12		nnz 9336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13		nnz 9336	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
14	12, 13	orim12i 760	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
15	11, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
17		nneoor 9419	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18	17	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19		recn 8005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divnegap 8725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
21	3, 4, 20	mp3an23 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24		nnnegz 9320	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	23, 24	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
26	19	halfcld 9227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
27	26	negnegd 8321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
28	27	eleq1d 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
29	25, 28	sylibd 149	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30		nnz 9336	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
31		peano2zm 9355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
32		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32, 3	negsubdi2i 8305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(1 − 2) = (2 − 1)
34		2m1e1 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − 1) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = -(1 − 2)
36	32, 3	subcli 8295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 − 2) ∈ ℂ
37	32, 36	negcon2i 8302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
38	35, 37	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 2) = -1
39	38	oveq2i 5929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑁 + (1 − 2)) = (-𝑁 + -1)
40		negcl 8219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
41		addsubass 8229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
42	32, 3, 41	mp3an23 1340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
44		negdi 8276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
45	32, 44	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
46	39, 43, 45	3eqtr4a 2252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
47	46	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
48		2div2e1 9114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 / 2) = 1
49	48	eqcomi 2197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (2 / 2)
50	49	oveq2i 5929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
51		peano2cn 8154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
52	40, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
53	3, 4	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
54		divsubdirap 8727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
55	3, 53, 54	mp3an23 1340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝑁 + 1) ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
56	52, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
57	50, 56	eqtr4id 2245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) − 2) / 2))
58		peano2cn 8154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
59		divnegap 8725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
60	3, 4, 59	mp3an23 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
61	58, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
63	19, 62	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
64	63	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
65	31, 64	imbitrid 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
66		znegcl 9348	. . . . . . . . 9 ⊢ (-((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
67	65, 66	syl6 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
68		peano2re 8155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
69	68	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
70	69	halfcld 9227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
71	70	negnegd 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
72	71	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
73	67, 72	sylibd 149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
74	30, 73	syl5 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
75	29, 74	orim12d 787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
76	75	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
77	18, 76	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
78	10, 16, 77	3jaodan 1317	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
79	1, 78	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   − cmin 8190  -cneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  zeo2  9423  zeo3  12009  mulsucdiv2z  12026  abssinper  14981  lgseisenlem1  15186