ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zeo GIF version

Theorem zeo 9357
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 9254 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 oveq1 5881 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3 2cn 8989 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
4 2ap0 9011 . . . . . . . 8 2 # 0
53, 4div0api 8702 . . . . . . 7 (0 / 2) = 0
6 0z 9263 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
75, 6eqeltri 2250 . . . . . 6 (0 / 2) ∈ ℤ
82, 7eqeltrdi 2268 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
98orcd 733 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
109adantl 277 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11 nneoor 9354 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
12 nnz 9271 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13 nnz 9271 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
1412, 13orim12i 759 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
1511, 14syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
1615adantl 277 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
17 nneoor 9354 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
1817adantl 277 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19 recn 7943 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20 divnegap 8662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
213, 4, 20mp3an23 1329 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
2322eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24 nnnegz 9255 . . . . . . . 8 (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
2523, 24syl6bir 164 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
2619halfcld 9162 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
2726negnegd 8258 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → --(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
2827eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (--(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
2925, 28sylibd 149 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30 nnz 9271 . . . . . . 7 (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
31 peano2zm 9290 . . . . . . . . . 10 (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
32 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
3332, 3negsubdi2i 8242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(1 − 2) = (2 − 1)
34 2m1e1 9036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − 1) = 1
3533, 34eqtr2i 2199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = -(1 − 2)
3632, 3subcli 8232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 − 2) ∈ ℂ
3732, 36negcon2i 8239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
3835, 37mpbi 145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 2) = -1
3938oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑁 + (1 − 2)) = (-𝑁 + -1)
40 negcl 8156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
41 addsubass 8166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
4232, 3, 41mp3an23 1329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
44 negdi 8213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
4532, 44mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
4639, 43, 453eqtr4a 2236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
4746oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
48 2div2e1 9050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 / 2) = 1
4948eqcomi 2181 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (2 / 2)
5049oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
51 peano2cn 8091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5240, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
533, 4pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
54 divsubdirap 8664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
553, 53, 54mp3an23 1329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑁 + 1) ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
5652, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
5750, 56eqtr4id 2229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) − 2) / 2))
58 peano2cn 8091 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
59 divnegap 8662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
603, 4, 59mp3an23 1329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
6158, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
6247, 57, 613eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
6319, 62syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
6463eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → ((((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
6531, 64imbitrid 154 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
66 znegcl 9283 . . . . . . . . 9 (-((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
6765, 66syl6 33 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
68 peano2re 8092 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6968recnd 7985 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7069halfcld 9162 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
7170negnegd 8258 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → --((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
7271eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (--((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7367, 72sylibd 149 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7430, 73syl5 32 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7529, 74orim12d 786 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
7675adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
7718, 76mpd 13 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7810, 16, 773jaodan 1306 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
791, 78sylbi 121 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813  cmin 8127  -cneg 8128   # cap 8537   / cdiv 8628  cn 8918  2c2 8969  cz 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253
This theorem is referenced by:  zeo2  9358  zeo3  11872  mulsucdiv2z  11889  abssinper  14237  lgseisenlem1  14420
  Copyright terms: Public domain W3C validator