zeo - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem zeo 9762

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

**Assertion**
Ref	Expression
zeo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

**Proof of Theorem zeo**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9657	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		oveq1 6095	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3		2cn 9384	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ap0 9406	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
5	3, 4	div0api 9084	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) = 0
6		0z 9666	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	5, 6	eqeltri 2311	. . . . . 6 ⊢ (0 / 2) ∈ ℤ
8	2, 7	eqeltrdi 2329	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9	8	orcd 745	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11		nneoor 9759	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
12		nnz 9674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13		nnz 9674	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
14	12, 13	orim12i 771	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
15	11, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
17		nneoor 9759	. . . . 5 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → (( -𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18	17	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (( -𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19		recn 8318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divnegap 9044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → -(𝑁 / 2) = ( -𝑁 / 2))
21	3, 4, 20	mp3an23 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = ( -𝑁 / 2))
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = ( -𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( -(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ( -𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24		nnnegz 9658	. . . . . . . 8 ⊢ ( -(𝑁 / 2) ∈ ℕ → - -(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	23, 24	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (( -𝑁 / 2) ∈ ℕ → - -(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
26	19	halfcld 9561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
27	26	negnegd 8635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → - -(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
28	27	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( - -(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
29	25, 28	sylibd 149	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (( -𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30		nnz 9674	. . . . . . 7 ⊢ ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
31		peano2zm 9693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
32		ax-1cn 8278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32, 3	negsubdi2i 8619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(1 − 2) = (2 − 1)
34		2m1e1 9431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − 1) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = -(1 − 2)
36	32, 3	subcli 8609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 − 2) ∈ ℂ
37	32, 36	negcon2i 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
38	35, 37	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 2) = -1
39	38	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -𝑁 + (1 − 2)) = ( -𝑁 + -1)
40		negcl 8533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
41		addsubass 8543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (( -𝑁 + 1) − 2) = ( -𝑁 + (1 − 2)))
42	32, 3, 41	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℂ → (( -𝑁 + 1) − 2) = ( -𝑁 + (1 − 2)))
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (( -𝑁 + 1) − 2) = ( -𝑁 + (1 − 2)))
44		negdi 8590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = ( -𝑁 + -1))
45	32, 44	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = ( -𝑁 + -1))
46	39, 43, 45	3eqtr4a 2297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (( -𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
47	46	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2) = ( -(𝑁 + 1) / 2))
48		2div2e1 9446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 / 2) = 1
49	48	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (2 / 2)
50	49	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((( -𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
51		peano2cn 8468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℂ → ( -𝑁 + 1) ∈ ℂ)
52	40, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ( -𝑁 + 1) ∈ ℂ)
53	3, 4	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
54		divsubdirap 9046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((( -𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2) = ((( -𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
55	3, 53, 54	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -𝑁 + 1) ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2) = ((( -𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
56	52, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2) = ((( -𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
57	50, 56	eqtr4id 2290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2))
58		peano2cn 8468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
59		divnegap 9044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = ( -(𝑁 + 1) / 2))
60	3, 4, 59	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = ( -(𝑁 + 1) / 2))
61	58, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = ( -(𝑁 + 1) / 2))
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
63	19, 62	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
64	63	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
65	31, 64	imbitrid 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
66		znegcl 9686	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → - -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
67	65, 66	syl6 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → - -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
68		peano2re 8469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
69	68	recnd 8360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
70	69	halfcld 9561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
71	70	negnegd 8635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → - -((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
72	71	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( - -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
73	67, 72	sylibd 149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
74	30, 73	syl5 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
75	29, 74	orim12d 798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
76	75	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((( -𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
77	18, 76	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
78	10, 16, 77	3jaodan 1347	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
79	1, 78	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 104 ∨ wo 720 ∨ w3o 1008 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 class class class wbr 4131 (class class class)co 6088 ℂcc 8183 ℝcr 8184 0cc0 8185 1c1 8186 + caddc 8188 − cmin 8504 -cneg 8505 # cap 8917 / cdiv 9010 ℕcn 9313 2c2 9364 ℤcz 9655

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-sep 4251 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-mulrcl 8284 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-precex 8295 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301 ax-pre-mulgt0 8302 ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-br 4132 df-opab 4194 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fv 5388 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-reap 8911 df-ap 8918 df-div 9011 df-inn 9314 df-2 9372 df-n0 9575 df-z 9656

This theorem is used by: zeo2 9763 zeo3 12660 mulsucdiv2z 12677 abssinper 16073 chtqub 16296 lgseisenlem1 16394

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