ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elznn0 GIF version

Theorem elznn0 9089
Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elznn0 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem elznn0
StepHypRef Expression
1 elz 9076 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 elnn0 8999 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
4 elnn0 8999 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0))
5 recn 7773 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
6 0cn 7778 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
7 negcon1 8034 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
85, 6, 7sylancl 410 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
9 neg0 8028 . . . . . . . . . 10 -0 = 0
109eqeq1i 2148 . . . . . . . . 9 (-0 = 𝑁 ↔ 0 = 𝑁)
11 eqcom 2142 . . . . . . . . 9 (0 = 𝑁𝑁 = 0)
1210, 11bitri 183 . . . . . . . 8 (-0 = 𝑁𝑁 = 0)
138, 12syl6bb 195 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
1413orbi2d 780 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0) ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
154, 14syl5bb 191 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
163, 15orbi12d 783 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
17 3orass 966 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
18 orcom 718 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0))
19 orordir 764 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2017, 18, 193bitrri 206 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
2116, 20syl6rbb 196 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2221pm5.32i 450 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
231, 22bitri 183 1 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wo 698  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481  cc 7638  cr 7639  0cc0 7640  -cneg 7954  cn 8740  0cn0 8997  cz 9074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-setind 4456  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-sub 7955  df-neg 7956  df-n0 8998  df-z 9075
This theorem is referenced by:  peano2z  9110  zmulcl  9127  elz2  9142  expnegzap  10354  expaddzaplem  10363  odd2np1  11597  bezoutlemzz  11717  bezoutlemaz  11718  bezoutlembz  11719
  Copyright terms: Public domain W3C validator