Theorem elnn0z 9204

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9123	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		elnn0 9116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	2	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4	3	orcomd 719	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
5		3mix1 1156	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
6		3mix2 1157	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
7	5, 6	jaoi 706	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
8	4, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 9193	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
10	1, 8, 9	sylanbrc 414	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		nn0ge0 9139	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
12	10, 11	jca 304	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
13	9	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
14	13	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
15		0nn0 9129	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eleq1 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
17	15, 16	mpbiri 167	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19		nnnn0 9121	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
21		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
22		0red 7900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
23		zre 9195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	22, 24	lenltd 8016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
26	21, 25	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < 0)
27		nngt0 8882	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
28	24	lt0neg1d 8413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
29	27, 28	syl5ibr 155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
30	26, 29	mtod 653	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
31	30	pm2.21d 609	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
32	18, 20, 31	3jaod 1294	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0))
33	14, 32	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34	12, 33	impbii 125	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∨ w3o 967   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   ≤ cle 7934  -cneg 8070  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  nn0zrab  9216  znn0sub  9256  nn0ind  9305  fnn0ind  9307  fznn0  10048  elfz0ubfz0  10060  elfz0fzfz0  10061  fz0fzelfz0  10062  elfzmlbp  10067  difelfzle  10069  difelfznle  10070  elfzo0z  10119  fzofzim  10123  ubmelm1fzo  10161  flqge0nn0  10228  zmodcl  10279  modqmuladdnn0  10303  modsumfzodifsn  10331  uzennn  10371  zsqcl2  10532  nn0abscl  11027  geolim2  11453  cvgratnnlemabsle  11468  oexpneg  11814  oddnn02np1  11817  evennn02n  11819  nn0ehalf  11840  nn0oddm1d2  11846  divalgb  11862  dfgcd2  11947  uzwodc  11970  algcvga  11983  hashgcdlem  12170  pockthlem  12286  ennnfoneleminc  12344