Theorem elnn0z 9091

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9010	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		elnn0 9003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	2	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4	3	orcomd 719	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
5		3mix1 1151	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
6		3mix2 1152	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
7	5, 6	jaoi 706	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
8	4, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 9080	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
10	1, 8, 9	sylanbrc 414	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		nn0ge0 9026	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
12	10, 11	jca 304	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
13	9	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
14	13	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
15		0nn0 9016	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eleq1 2203	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
17	15, 16	mpbiri 167	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19		nnnn0 9008	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
21		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
22		0red 7791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
23		zre 9082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	22, 24	lenltd 7904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
26	21, 25	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < 0)
27		nngt0 8769	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
28	24	lt0neg1d 8301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
29	27, 28	syl5ibr 155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
30	26, 29	mtod 653	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
31	30	pm2.21d 609	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
32	18, 20, 31	3jaod 1283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0))
33	14, 32	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34	12, 33	impbii 125	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∨ w3o 962   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ℝcr 7643  0cc0 7644   < clt 7824   ≤ cle 7825  -cneg 7958  ℕcn 8744  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  nn0zrab  9103  znn0sub  9143  nn0ind  9189  fnn0ind  9191  fznn0  9924  elfz0ubfz0  9933  elfz0fzfz0  9934  fz0fzelfz0  9935  elfzmlbp  9940  difelfzle  9942  difelfznle  9943  elfzo0z  9992  fzofzim  9996  ubmelm1fzo  10034  flqge0nn0  10097  zmodcl  10148  modqmuladdnn0  10172  modsumfzodifsn  10200  uzennn  10240  zsqcl2  10401  nn0abscl  10889  geolim2  11313  cvgratnnlemabsle  11328  oexpneg  11610  oddnn02np1  11613  evennn02n  11615  nn0ehalf  11636  nn0oddm1d2  11642  divalgb  11658  dfgcd2  11738  algcvga  11768  hashgcdlem  11939  ennnfoneleminc  11960