Theorem elnn0z 9358

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9277	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		elnn0 9270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	2	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4	3	orcomd 730	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
5		3mix1 1168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
6		3mix2 1169	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
7	5, 6	jaoi 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
8	4, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 9347	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		nn0ge0 9293	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
12	10, 11	jca 306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
13	9	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
15		0nn0 9283	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eleq1 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
17	15, 16	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19		nnnn0 9275	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
22		0red 8046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
23		zre 9349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	22, 24	lenltd 8163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
26	21, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < 0)
27		nngt0 9034	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
28	24	lt0neg1d 8561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
29	27, 28	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
30	26, 29	mtod 664	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
31	30	pm2.21d 620	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
32	18, 20, 31	3jaod 1315	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0))
33	14, 32	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34	12, 33	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897  0cc0 7898   < clt 8080   ≤ cle 8081  -cneg 8217  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  nn0zrab  9370  znn0sub  9410  nn0ind  9459  fnn0ind  9461  fznn0  10207  elfz0ubfz0  10219  elfz0fzfz0  10220  fz0fzelfz0  10221  elfzmlbp  10226  difelfzle  10228  difelfznle  10229  elfzo0z  10279  fzofzim  10283  ubmelm1fzo  10321  flqge0nn0  10402  zmodcl  10455  modqmuladdnn0  10479  modsumfzodifsn  10507  uzennn  10547  zsqcl2  10728  iswrdiz  10961  nn0abscl  11269  nn0maxcl  11409  geolim2  11696  cvgratnnlemabsle  11711  oexpneg  12061  oddnn02np1  12064  evennn02n  12066  nn0ehalf  12087  nn0oddm1d2  12093  divalgb  12109  bitsinv1lem  12145  dfgcd2  12208  uzwodc  12231  algcvga  12246  hashgcdlem  12433  pockthlem  12552  4sqlem14  12600  ennnfoneleminc  12655  gausslemma2dlem0h  15405