Theorem elnn0z 9492

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9411	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		elnn0 9404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	2	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4	3	orcomd 736	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
5		3mix1 1192	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
6		3mix2 1193	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
7	5, 6	jaoi 723	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
8	4, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 9481	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		nn0ge0 9427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
12	10, 11	jca 306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
13	9	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
15		0nn0 9417	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eleq1 2294	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
17	15, 16	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19		nnnn0 9409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
22		0red 8180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
23		zre 9483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	22, 24	lenltd 8297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
26	21, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < 0)
27		nngt0 9168	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
28	24	lt0neg1d 8695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
29	27, 28	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < 0))
30	26, 29	mtod 669	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
31	30	pm2.21d 624	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (-𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0))
32	18, 20, 31	3jaod 1340	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0))
33	14, 32	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34	12, 33	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  0cc0 8032   < clt 8214   ≤ cle 8215  -cneg 8351  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  nn0zrab  9504  znn0sub  9545  nn0ind  9594  fnn0ind  9596  fznn0  10348  elfz0ubfz0  10360  elfz0fzfz0  10361  fz0fzelfz0  10362  elfzmlbp  10367  difelfzle  10369  difelfznle  10370  elfzo0z  10424  fzofzim  10428  ubmelm1fzo  10472  flqge0nn0  10554  zmodcl  10607  modqmuladdnn0  10631  modsumfzodifsn  10659  uzennn  10699  zsqcl2  10880  iswrdiz  11124  swrdswrdlem  11289  swrdswrd  11290  swrdccatin2  11314  pfxccatin12lem2  11316  pfxccatin12lem3  11317  nn0abscl  11650  nn0maxcl  11790  geolim2  12078  cvgratnnlemabsle  12093  oexpneg  12443  oddnn02np1  12446  evennn02n  12448  nn0ehalf  12469  nn0oddm1d2  12475  divalgb  12491  bitsinv1lem  12527  dfgcd2  12590  uzwodc  12613  algcvga  12628  hashgcdlem  12815  pockthlem  12934  4sqlem14  12982  ennnfoneleminc  13037  gausslemma2dlem0h  15791