Theorem znegcl 9438

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9409	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 8300	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 8353	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 9418	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2298	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 9410	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 9426	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1316	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ℝcr 7959  0cc0 7960  -cneg 8279  ℕcn 9071  ℤcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-z 9408

This theorem is referenced by:  znegclb  9440  nn0negz  9441  peano2zm  9445  zsubcl  9448  zeo  9513  zindd  9526  znegcld  9532  uzneg  9702  qnegcl  9792  fzsubel  10217  fzosubel  10360  ceilid  10497  modqcyc2  10542  expsubap  10769  climshft  11730  negdvdsb  12233  dvdsnegb  12234  summodnegmod  12248  dvdssub  12264  odd2np1  12299  bitscmp  12384  gcdneg  12418  neggcd  12419  gcdabs  12424  bezoutlemaz  12439  bezoutlembz  12440  lcmneg  12511  neglcm  12512  lcmabs  12513  4sqexercise1  12836  4sqexercise2  12837  mulgval  13573  mulgaddcomlem  13596  mulgneg2  13607  mulgsubdir  13613  zsubrg  14458  zringmulg  14475  zringinvg  14481  sinperlem  15395  lgsneg  15616  lgsdir2lem4  15623  lgsdir2lem5  15624  ex-fl  15861