Theorem znegcl 9675

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9646	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 8519	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 8572	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 9655	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2329	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 9647	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 9663	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1344	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ℝcr 8178  0cc0 8179  -cneg 8498  ℕcn 9304  ℤcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-z 9645

This theorem is used by:  znegclb  9677  nn0negz  9678  peano2zm  9682  zsubcl  9685  zeo  9751  zindd  9764  znegcld  9770  uzneg  9941  qnegcl  10036  fzsubel  10466  fzosubel  10612  ceilid  10752  modqcyc2  10797  expsubap  11024  climshft  12070  negdvdsb  12574  dvdsnegb  12575  summodnegmod  12589  dvdssub  12605  odd2np1  12640  bitscmp  12725  gcdneg  12759  neggcd  12760  gcdabs  12765  bezoutlemaz  12780  bezoutlembz  12781  lcmneg  12852  neglcm  12853  lcmabs  12854  4sqexercise1  13177  4sqexercise2  13178  mulgval  13925  mulgaddcomlem  13948  mulgneg2  13959  mulgsubdir  13965  zsubrg  14918  zringmulg  14933  zringinvg  14939  sinperlem  15909  lgsneg  16143  lgsdir2lem4  16150  lgsdir2lem5  16151  ex-fl  16739