Theorem znegcl 9078

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9049	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 7948	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 8001	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	syl6eq 2186	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 9058	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2228	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 9050	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 9066	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1281	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 120	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ℝcr 7612  0cc0 7613  -cneg 7927  ℕcn 8713  ℤcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-z 9048

This theorem is referenced by:  znegclb  9080  nn0negz  9081  peano2zm  9085  zsubcl  9088  zeo  9149  zindd  9162  znegcld  9168  uzneg  9337  qnegcl  9421  fzsubel  9833  fzosubel  9964  ceilid  10081  modqcyc2  10126  expsubap  10334  climshft  11066  negdvdsb  11498  dvdsnegb  11499  summodnegmod  11513  dvdssub  11527  odd2np1  11559  gcdneg  11659  neggcd  11660  gcdabs  11665  bezoutlemaz  11680  bezoutlembz  11681  lcmneg  11744  neglcm  11745  lcmabs  11746  sinperlem  12878  ex-fl  12926