Theorem znegcl 9510

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9481	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 8372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 8425	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 9490	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2322	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 9482	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 9498	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1339	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ℝcr 8031  0cc0 8032  -cneg 8351  ℕcn 9143  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-z 9480

This theorem is referenced by:  znegclb  9512  nn0negz  9513  peano2zm  9517  zsubcl  9520  zeo  9585  zindd  9598  znegcld  9604  uzneg  9775  qnegcl  9870  fzsubel  10295  fzosubel  10440  ceilid  10578  modqcyc2  10623  expsubap  10850  climshft  11882  negdvdsb  12386  dvdsnegb  12387  summodnegmod  12401  dvdssub  12417  odd2np1  12452  bitscmp  12537  gcdneg  12571  neggcd  12572  gcdabs  12577  bezoutlemaz  12592  bezoutlembz  12593  lcmneg  12664  neglcm  12665  lcmabs  12666  4sqexercise1  12989  4sqexercise2  12990  mulgval  13727  mulgaddcomlem  13750  mulgneg2  13761  mulgsubdir  13767  zsubrg  14614  zringmulg  14631  zringinvg  14637  sinperlem  15551  lgsneg  15772  lgsdir2lem4  15779  lgsdir2lem5  15780  ex-fl  16368