Theorem znegcl 9679

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9650	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 8520	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 8573	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 9659	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2329	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 9651	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 9667	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1344	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ℝcr 8178  0cc0 8179  -cneg 8499  ℕcn 9306  ℤcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-z 9649

This theorem is used by:  znegclb  9681  nn0negz  9682  peano2zm  9686  zsubcl  9689  zeo  9755  zindd  9768  znegcld  9774  uzneg  9950  qnegcl  10045  fzsubel  10476  fzosubel  10622  ceilid  10765  modqcyc2  10810  expsubap  11037  climshft  12086  negdvdsb  12590  dvdsnegb  12591  summodnegmod  12605  dvdssub  12621  odd2np1  12656  bitscmp  12741  gcdneg  12775  neggcd  12776  gcdabs  12781  bezoutlemaz  12796  bezoutlembz  12797  lcmneg  12868  neglcm  12869  lcmabs  12870  4sqexercise1  13197  4sqexercise2  13198  mulgval  13974  mulgaddcomlem  13997  mulgneg2  14008  mulgsubdir  14014  zsubrg  14967  zringmulg  14982  zringinvg  14988  sinperlem  15959  lgsneg  16241  lgsdir2lem4  16248  lgsdir2lem5  16249  ex-fl  16837