Theorem znegcl 9402

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9373	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 8264	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 8317	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2253	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 9382	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2295	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 9374	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 9390	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1315	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 979   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ℝcr 7923  0cc0 7924  -cneg 8243  ℕcn 9035  ℤcz 9371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-z 9372

This theorem is referenced by:  znegclb  9404  nn0negz  9405  peano2zm  9409  zsubcl  9412  zeo  9477  zindd  9490  znegcld  9496  uzneg  9666  qnegcl  9756  fzsubel  10181  fzosubel  10321  ceilid  10458  modqcyc2  10503  expsubap  10730  climshft  11586  negdvdsb  12089  dvdsnegb  12090  summodnegmod  12104  dvdssub  12120  odd2np1  12155  bitscmp  12240  gcdneg  12274  neggcd  12275  gcdabs  12280  bezoutlemaz  12295  bezoutlembz  12296  lcmneg  12367  neglcm  12368  lcmabs  12369  4sqexercise1  12692  4sqexercise2  12693  mulgval  13429  mulgaddcomlem  13452  mulgneg2  13463  mulgsubdir  13469  zsubrg  14314  zringmulg  14331  zringinvg  14337  sinperlem  15251  lgsneg  15472  lgsdir2lem4  15479  lgsdir2lem5  15480  ex-fl  15623