ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodlteq GIF version

Theorem addmodlteq 10384
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteq ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteq
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 10133 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
213ad2ant1 1018 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 zq 9615 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℚ)
42, 3syl 14 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℚ)
5 simp3 999 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℤ)
6 zq 9615 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℚ)
75, 6syl 14 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℚ)
8 elfzo0 10168 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
98biimpi 120 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
1093ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
1110simp2d 1010 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 nnq 9622 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
1311, 12syl 14 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
1411nngt0d 8952 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 0 < 𝑁)
15 modqaddmod 10349 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
164, 7, 13, 14, 15syl22anc 1239 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
1716eqcomd 2183 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
18 elfzoelz 10133 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
19183ad2ant2 1019 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
20 zq 9615 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℚ)
2119, 20syl 14 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℚ)
22 modqaddmod 10349 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
2321, 7, 13, 14, 22syl22anc 1239 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
2423eqcomd 2183 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
2517, 24eqeq12d 2192 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
262, 11zmodcld 10331 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
2726nn0zd 9362 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℤ)
2827, 5zaddcld 9368 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℤ)
2928, 11zmodcld 10331 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 9220 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
3119, 11zmodcld 10331 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 9362 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℤ)
3332, 5zaddcld 9368 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℤ)
3433, 11zmodcld 10331 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 9220 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
3630, 35subeq0ad 8268 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
37 oveq1 5876 . . . . 5 (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
384, 13, 14modqcld 10314 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℚ)
39 qaddcl 9624 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
4038, 7, 39syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
4121, 13, 14modqcld 10314 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℚ)
42 qaddcl 9624 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
4341, 7, 42syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
44 modqsubmodmod 10369 . . . . . . . . 9 (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
4540, 43, 13, 14, 44syl22anc 1239 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
4626nn0cnd 9220 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
4731nn0cnd 9220 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
485zcnd 9365 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℂ)
4946, 47, 48pnpcan2d 8296 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) = ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)))
5049oveq1d 5884 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5145, 50eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
52 q0mod 10341 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
5313, 14, 52syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑁) = 0)
5451, 53eqeq12d 2192 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0))
55 zmodidfzoimp 10340 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
56553ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
57 zmodidfzoimp 10340 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
58573ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
5956, 58oveq12d 5887 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) = (𝐼𝐽))
6059oveq1d 5884 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐼𝐽) mod 𝑁))
6160eqeq1d 2186 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0))
62 qsubcl 9627 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℚ) → (𝐼𝐽) ∈ ℚ)
634, 21, 62syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼𝐽) ∈ ℚ)
64 modq0 10315 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
6563, 13, 14, 64syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
662, 19zsubcld 9369 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
67 zdiv 9330 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
6811, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
7069oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
7111nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7271mul01d 8340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0) = 0)
7372ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
7470, 73eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 𝑘) = 0)
7574eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ 0 = (𝐼𝐽)))
76 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 = (𝐼𝐽) ↔ (𝐼𝐽) = 0)
7710simp1d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℕ0)
7877ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
7978nn0cnd 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 ∈ ℂ)
80 elfzo0 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
8180biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
82813ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
8382simp1d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8483ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8584nn0cnd 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐽 ∈ ℂ)
8679, 85subeq0ad 8268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐼𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
8786biimpd 144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐼𝐽) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
8876, 87biimtrid 152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
8975, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9089imp 124 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) → 𝐼 = 𝐽)
9190an32s 568 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 = 𝐽)
92 subfzo0 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
93923adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
9493ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
9594simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐼𝐽) < 𝑁)
96 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽))
9771mulid1d 7965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
9897ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
9995, 96, 983brtr4d 4032 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1))
100 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
101100zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
102 1red 7963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
10311nnrpd 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
104103ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
105101, 102, 104ltmul2d 9726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
10699, 105mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 < 1)
107 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
108107nnge1d 8951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
109102, 101, 108lensymd 8069 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 < 1)
110106, 109pm2.21dd 620 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = 𝐽)
11193ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
112111simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑁 < (𝐼𝐽))
113 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽))
114112, 113breqtrrd 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑁 < (𝑁 · 𝑘))
11511nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
116115adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
117 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
118116, 117zmulcld 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℤ)
119118zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
120119ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
12111nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
122121ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
123120, 122possumd 8516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝑁 · 𝑘)))
124114, 123mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁))
12597eqcomd 2183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
126125oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
127126ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
12871ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
129117zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
130129ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
131 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
132128, 130, 131adddid 7972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
133127, 132eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑘 + 1)))
134124, 133breqtrd 4026 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
135117peano2zd 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
136116, 135zmulcld 9370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
137136zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
138137ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
139 0red 7949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
14071adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
141135zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
142140, 141mulcomd 7969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝑁))
143142ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝑁))
144135zred 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
145144ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
146 zcn 9247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
147 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
148146, 147addcomd 8098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
149147, 146subnegd 8265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (1 − -𝑘) = (1 + 𝑘))
150148, 149eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
151150ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
152 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑘 ∈ ℕ)
153152nnge1d 8951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ -𝑘)
154 1red 7963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
155152nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑘 ∈ ℝ)
156154, 155suble0d 8483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((1 − -𝑘) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -𝑘))
157153, 156mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (1 − -𝑘) ≤ 0)
158151, 157eqbrtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
15911nnnn0d 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
160159nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
161160ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
162 mulle0r 8890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑘 + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)) → ((𝑘 + 1) · 𝑁) ≤ 0)
163145, 122, 158, 161, 162syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝑁) ≤ 0)
164143, 163eqbrtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0)
165138, 139, 164lensymd 8069 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
166134, 165pm2.21dd 620 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = 𝐽)
167 elz 9244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
168167simprbi 275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
169168ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
17091, 110, 166, 169mpjao3dan 1307 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽)) → 𝐼 = 𝐽)
171170ex 115 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
172171rexlimdva 2594 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
17368, 172sylbird 170 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ → 𝐼 = 𝐽))
17465, 173sylbid 150 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
17561, 174sylbid 150 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
17654, 175sylbid 150 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
17737, 176syl5 32 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
17836, 177sylbird 170 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
17925, 178sylbid 150 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
180 oveq1 5876 . . 3 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
181180oveq1d 5884 . 2 (𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
182179, 181impbid1 142 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 977  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118  -cneg 8119   / cdiv 8618  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  cq 9608  +crp 9640  ..^cfzo 10128   mod cmo 10308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator