Theorem addmodlteq 10398

Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addmodlteq	⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		zq 9626	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℚ)
5		simp3 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℤ)
6		zq 9626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℚ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℚ)
8		elfzo0 10182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
10	9	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
11	10	simp2d 1010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		nnq 9633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
14	11	nngt0d 8963	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 0 < 𝑁)
15		modqaddmod 10363	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
16	4, 7, 13, 14, 15	syl22anc 1239	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
17	16	eqcomd 2183	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
18		elfzoelz 10147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
19	18	3ad2ant2 1019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℤ)
20		zq 9626	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℚ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℚ)
22		modqaddmod 10363	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
23	21, 7, 13, 14, 22	syl22anc 1239	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
24	23	eqcomd 2183	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
25	17, 24	eqeq12d 2192	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
26	2, 11	zmodcld 10345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 9373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℤ)
28	27, 5	zaddcld 9379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℤ)
29	28, 11	zmodcld 10345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 9231	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
31	19, 11	zmodcld 10345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 9373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℤ)
33	32, 5	zaddcld 9379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℤ)
34	33, 11	zmodcld 10345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 9231	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
36	30, 35	subeq0ad 8278	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
37		oveq1 5882	. . . . 5 ⊢ (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
38	4, 13, 14	modqcld 10328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℚ)
39		qaddcl 9635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
40	38, 7, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
41	21, 13, 14	modqcld 10328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℚ)
42		qaddcl 9635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 mod 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
43	41, 7, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ)
44		modqsubmodmod 10383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℚ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
45	40, 43, 13, 14, 44	syl22anc 1239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
46	26	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
47	31	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
48	5	zcnd 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	pnpcan2d 8306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) = ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)))
50	49	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
51	45, 50	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
52		q0mod 10355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
53	13, 14, 52	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑁) = 0)
54	51, 53	eqeq12d 2192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0))
55		zmodidfzoimp 10354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
56	55	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
57		zmodidfzoimp 10354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
58	57	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
59	56, 58	oveq12d 5893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) = (𝐼 − 𝐽))
60	59	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁))
61	60	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁) = 0))
62		qsubcl 9638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝐽 ∈ ℚ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℚ)
63	4, 21, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℚ)
64		modq0 10329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 − 𝐽) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
65	63, 13, 14, 64	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
66	2, 19	zsubcld 9380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ)
67		zdiv 9341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 − 𝐽) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) ↔ ((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
68	11, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) ↔ ((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
70	69	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
71	11	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
72	71	mul01d 8350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0) = 0)
73	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
74	70, 73	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑁 · 𝑘) = 0)
75	74	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) ↔ 0 = (𝐼 − 𝐽)))
76		eqcom 2179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = (𝐼 − 𝐽) ↔ (𝐼 − 𝐽) = 0)
77	10	simp1d 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℕ0)
78	77	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
79	78	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 ∈ ℂ)
80		elfzo0 10182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
81	80	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
82	81	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
83	82	simp1d 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
84	83	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
85	84	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐽 ∈ ℂ)
86	79, 85	subeq0ad 8278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐼 − 𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
87	86	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐼 − 𝐽) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
88	76, 87	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (0 = (𝐼 − 𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
89	75, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
90	89	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) → 𝐼 = 𝐽)
91	90	an32s 568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐼 = 𝐽)
92		subfzo0 10242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
93	92	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
94	93	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
95	94	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)
96		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽))
97	71	mulridd 7974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
98	97	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
99	95, 96, 98	3brtr4d 4036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1))
100		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
101	100	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
102		1red 7972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
103	11	nnrpd 9694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
104	103	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
105	101, 102, 104	ltmul2d 9739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
106	99, 105	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 < 1)
107		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	nnge1d 8962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
109	102, 101, 108	lensymd 8079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 < 1)
110	106, 109	pm2.21dd 620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = 𝐽)
111	93	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
112	111	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑁 < (𝐼 − 𝐽))
113		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽))
114	112, 113	breqtrrd 4032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑁 < (𝑁 · 𝑘))
115	11	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
117		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
118	116, 117	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℤ)
119	118	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
120	119	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
121	11	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
122	121	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
123	120, 122	possumd 8526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝑁 · 𝑘)))
124	114, 123	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁))
125	97	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
126	125	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
127	126	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
128	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
129	117	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
130	129	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
131		1cnd 7973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
132	128, 130, 131	adddid 7982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
133	127, 132	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑘 + 1)))
134	124, 133	breqtrd 4030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
135	117	peano2zd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
136	116, 135	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
137	136	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
138	137	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
139		0red 7958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
140	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
141	135	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
142	140, 141	mulcomd 7979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝑁))
143	142	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝑁))
144	135	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
145	144	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
146		zcn 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
147		1cnd 7973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
148	146, 147	addcomd 8108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
149	147, 146	subnegd 8275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1 − -𝑘) = (1 + 𝑘))
150	148, 149	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
151	150	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
152		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑘 ∈ ℕ)
153	152	nnge1d 8962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ -𝑘)
154		1red 7972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
155	152	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → -𝑘 ∈ ℝ)
156	154, 155	suble0d 8493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((1 − -𝑘) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -𝑘))
157	153, 156	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (1 − -𝑘) ≤ 0)
158	151, 157	eqbrtrd 4026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
159	11	nnnn0d 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
160	159	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
161	160	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
162		mulle0r 8901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑘 + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)) → ((𝑘 + 1) · 𝑁) ≤ 0)
163	145, 122, 158, 161, 162	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝑁) ≤ 0)
164	143, 163	eqbrtrd 4026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0)
165	138, 139, 164	lensymd 8079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
166	134, 165	pm2.21dd 620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = 𝐽)
167		elz 9255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
168	167	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
169	168	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
170	91, 110, 166, 169	mpjao3dan 1307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽)) → 𝐼 = 𝐽)
171	170	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
172	171	rexlimdva 2594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼 − 𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
173	68, 172	sylbird 170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ → 𝐼 = 𝐽))
174	65, 173	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
175	61, 174	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
176	54, 175	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
177	37, 176	syl5 32	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
178	36, 177	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
179	25, 178	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
180		oveq1 5882	. . 3 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
181	180	oveq1d 5890	. 2 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
182	179, 181	impbid1 142	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 977   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816   < clt 7992   ≤ cle 7993   − cmin 8128  -cneg 8129   / cdiv 8629  ℕcn 8919  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253  ℚcq 9619  ℝ⁺crp 9653  ..^cfzo 10142   mod cmo 10322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323

This theorem is referenced by: (None)