ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccshftr GIF version

Theorem iccshftr 9951
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftr.1 (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
iccshftr.2 (𝐵 + 𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftr (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftr
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2 readdcl 7900 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ)
31, 22thd 174 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
43adantl 275 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
5 leadd1 8349 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
653expb 1199 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
76adantlr 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
8 iccshftr.1 . . . . 5 (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
98breq1i 3996 . . . 4 ((𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅))
107, 9bitrdi 195 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅)))
11 leadd1 8349 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
12113expb 1199 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
1312an12s 560 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
1413adantll 473 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
15 iccshftr.2 . . . . 5 (𝐵 + 𝑅) = 𝐷
1615breq2i 3997 . . . 4 ((𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅) ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)
1714, 16bitrdi 195 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷))
184, 10, 173anbi123d 1307 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
19 elicc2 9895 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2019adantr 274 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
21 readdcl 7900 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑅) ∈ ℝ)
228, 21eqeltrrid 2258 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23 readdcl 7900 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑅) ∈ ℝ)
2415, 23eqeltrrid 2258 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 elicc2 9895 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2622, 24, 25syl2an 287 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2726anandirs 588 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2827adantrl 475 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2918, 20, 283bitr4d 219 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  cr 7773   + caddc 7777  cle 7955  [,]cicc 9848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-icc 9852
This theorem is referenced by:  iccshftri  9952  lincmb01cmp  9960
  Copyright terms: Public domain W3C validator