Theorem ssfii 7049

Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	intsn 3910	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥} = 𝑥
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	snssd 3768	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
6	1	snnz 3742	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8		snfig 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → {𝑥} ∈ Fin)
9	8	elv 2767	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
11		elfir 7048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
12	3, 5, 7, 10, 11	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
13	2, 12	eqeltrrid 2284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
14	13	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
15	14	ssrdv 3190	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  {csn 3623  ∩ cint 3875  ‘cfv 5259  Fincfn 6808  ficfi 7043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-fi 7044

This theorem is referenced by:  fieq0  7051  fiuni  7053