Theorem ssfii 7129

Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	intsn 3957	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥} = 𝑥
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	snssd 3812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
6	1	snnz 3785	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8		snfig 6957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → {𝑥} ∈ Fin)
9	8	elv 2803	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
11		elfir 7128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
12	3, 5, 7, 10, 11	syl13anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
13	2, 12	eqeltrrid 2317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
14	13	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
15	14	ssrdv 3230	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666  ∩ cint 3922  ‘cfv 5314  Fincfn 6877  ficfi 7123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880  df-fi 7124

This theorem is referenced by:  fieq0  7131  fiuni  7133