Theorem ssfii 7302

Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	intsn 4003	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥} = 𝑥
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	snssd 3858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
6	1	snnz 3830	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8		snfig 7097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → {𝑥} ∈ Fin)
9	8	elv 2825	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
11		elfir 7301	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
12	3, 5, 7, 10, 11	syl13anc 1280	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
13	2, 12	eqeltrrid 2326	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
14	13	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
15	14	ssrdv 3254	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3708  ∩ cint 3968  ‘cfv 5375  Fincfn 7016  ficfi 7296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019  df-fi 7297

This theorem is referenced by:  fieq0  7304  fiuni  7306