ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exprmfct GIF version

Theorem exprmfct 12015
Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exprmfct (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9477 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 eleq1 2220 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ‘2)))
32imbi1d 230 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)))
4 eleq1 2220 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)))
5 breq2 3969 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝑥𝑝𝑦))
65rexbidv 2458 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦))
74, 6imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦)))
8 eleq1 2220 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
9 breq2 3969 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
109rexbidv 2458 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧))
118, 10imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)))
12 eleq1 2220 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2)))
13 breq2 3969 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝𝑥𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1413rexbidv 2458 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1512, 14imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16 eleq1 2220 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
17 breq2 3969 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑝𝑥𝑝𝑁))
1817rexbidv 2458 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
1916, 18imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)))
20 1m1e0 8902 . . . . 5 (1 − 1) = 0
21 uz2m1nn 9516 . . . . 5 (1 ∈ (ℤ‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
2220, 21eqeltrrid 2245 . . . 4 (1 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℕ)
23 0nnn 8860 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
2423pm2.21i 636 . . . 4 (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
2522, 24syl 14 . . 3 (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
26 prmz 11988 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27 iddvds 11700 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑥)
2826, 27syl 14 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥𝑥)
29 breq1 3968 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑥𝑥𝑥))
3029rspcev 2816 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3128, 30mpdan 418 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3231a1d 22 . . 3 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥))
33 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
34 eluzelz 9448 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
3534ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36 eluzelz 9448 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
3736ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38 dvdsmul1 11709 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
3935, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40 prmz 11988 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
4140adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4235, 37zmulcld 9292 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43 dvdstr 11724 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4441, 35, 42, 43syl3anc 1220 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4539, 44mpan2d 425 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑦𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4645reximdva 2559 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4733, 46embantd 56 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4847a1dd 48 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
4948adantrd 277 . . 3 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
503, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49prmind 11998 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
511, 50mpcom 36 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  wrex 2436   class class class wbr 3965  cfv 5170  (class class class)co 5824  0cc0 7732  1c1 7733   · cmul 7737  cmin 8046  cn 8833  2c2 8884  cz 9167  cuz 9439  cdvds 11683  cprime 11984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-1o 6363  df-2o 6364  df-er 6480  df-en 6686  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-dvds 11684  df-prm 11985
This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  12016  rpexp  12028
  Copyright terms: Public domain W3C validator