ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exprmfct GIF version

Theorem exprmfct 11212
Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exprmfct (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9026 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 eleq1 2150 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ‘2)))
32imbi1d 229 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)))
4 eleq1 2150 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)))
5 breq2 3841 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝑥𝑝𝑦))
65rexbidv 2381 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦))
74, 6imbi12d 232 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦)))
8 eleq1 2150 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
9 breq2 3841 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
109rexbidv 2381 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧))
118, 10imbi12d 232 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)))
12 eleq1 2150 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2)))
13 breq2 3841 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝𝑥𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1413rexbidv 2381 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1512, 14imbi12d 232 . . 3 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16 eleq1 2150 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
17 breq2 3841 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑝𝑥𝑝𝑁))
1817rexbidv 2381 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
1916, 18imbi12d 232 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)))
20 1m1e0 8462 . . . . 5 (1 − 1) = 0
21 uz2m1nn 9061 . . . . 5 (1 ∈ (ℤ‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
2220, 21syl5eqelr 2175 . . . 4 (1 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℕ)
23 0nnn 8421 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
2423pm2.21i 610 . . . 4 (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
2522, 24syl 14 . . 3 (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
26 prmz 11186 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27 iddvds 10902 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑥)
2826, 27syl 14 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥𝑥)
29 breq1 3840 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑥𝑥𝑥))
3029rspcev 2722 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3128, 30mpdan 412 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3231a1d 22 . . 3 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥))
33 simpl 107 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
34 eluzelz 8997 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
3534ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36 eluzelz 8997 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
3736ad2antlr 473 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38 dvdsmul1 10911 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
3935, 37, 38syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40 prmz 11186 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
4140adantl 271 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4235, 37zmulcld 8844 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43 dvdstr 10926 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4441, 35, 42, 43syl3anc 1174 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4539, 44mpan2d 419 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑦𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4645reximdva 2475 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4733, 46embantd 55 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4847a1dd 47 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
4948adantrd 273 . . 3 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
503, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49prmind 11196 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
511, 50mpcom 36 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  0cc0 7329  1c1 7330   · cmul 7334  cmin 7632  cn 8394  2c2 8444  cz 8720  cuz 8988  cdvds 10889  cprime 11182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-er 6272  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10890  df-prm 11183
This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  11213  rpexp  11225
  Copyright terms: Public domain W3C validator