Theorem exprmfct 12733

Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9805	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		eleq1 2293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)))
4		eleq1 2293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		breq2 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑦))
6	5	rexbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦))
7	4, 6	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦)))
8		eleq1 2293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
9		breq2 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑧))
10	9	rexbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧))
11	8, 10	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧)))
12		eleq1 2293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2)))
13		breq2 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
14	13	rexbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
15	12, 14	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16		eleq1 2293	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17		breq2 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
18	17	rexbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁))
19	16, 18	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)))
20		1m1e0 9217	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
21		uz2m1nn 9844	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	eqeltrrid 2318	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℕ)
23		0nnn 9175	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
24	23	pm2.21i 651	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
25	22, 24	syl 14	. . 3 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
26		prmz 12706	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27		iddvds 12388	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 𝑥)
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∥ 𝑥)
29		breq1 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 ∥ 𝑥))
30	29	rspcev 2909	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
31	28, 30	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
32	31	a1d 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥))
33		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))
34		eluzelz 9770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36		eluzelz 9770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38		dvdsmul1 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40		prmz 12706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
41	40	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
42	35, 37	zmulcld 9613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43		dvdstr 12412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑦 ∧ 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
44	41, 35, 42, 43	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑦 ∧ 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
45	39, 44	mpan2d 428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑦 → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
46	45	reximdva 2633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
47	33, 46	embantd 56	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
48	47	a1dd 48	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
49	48	adantrd 279	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
50	3, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49	prmind 12716	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁))
51	1, 50	mpcom 36	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  0cc0 8037  1c1 8038   · cmul 8042   − cmin 8355  ℕcn 9148  2c2 9199  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760   ∥ cdvds 12371  ℙcprime 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-prm 12703

This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  12734  isprm5lem  12736  rpexp  12748  pc2dvds  12926  oddprmdvds  12950  prmunb  12958  lgsne0  15796