ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exprmfct GIF version

Theorem exprmfct 11714
Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exprmfct (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9313 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 eleq1 2178 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ‘2)))
32imbi1d 230 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)))
4 eleq1 2178 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)))
5 breq2 3901 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝑥𝑝𝑦))
65rexbidv 2413 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦))
74, 6imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦)))
8 eleq1 2178 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
9 breq2 3901 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
109rexbidv 2413 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧))
118, 10imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)))
12 eleq1 2178 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2)))
13 breq2 3901 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝𝑥𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1413rexbidv 2413 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1512, 14imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16 eleq1 2178 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
17 breq2 3901 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑝𝑥𝑝𝑁))
1817rexbidv 2413 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
1916, 18imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)))
20 1m1e0 8746 . . . . 5 (1 − 1) = 0
21 uz2m1nn 9348 . . . . 5 (1 ∈ (ℤ‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
2220, 21eqeltrrid 2203 . . . 4 (1 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℕ)
23 0nnn 8704 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
2423pm2.21i 618 . . . 4 (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
2522, 24syl 14 . . 3 (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
26 prmz 11688 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27 iddvds 11402 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑥)
2826, 27syl 14 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥𝑥)
29 breq1 3900 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑥𝑥𝑥))
3029rspcev 2761 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3128, 30mpdan 415 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3231a1d 22 . . 3 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥))
33 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
34 eluzelz 9284 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
3534ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36 eluzelz 9284 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
3736ad2antlr 478 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38 dvdsmul1 11411 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
3935, 37, 38syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40 prmz 11688 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
4140adantl 273 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4235, 37zmulcld 9130 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43 dvdstr 11426 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4441, 35, 42, 43syl3anc 1199 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4539, 44mpan2d 422 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑦𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4645reximdva 2509 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4733, 46embantd 56 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4847a1dd 48 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
4948adantrd 275 . . 3 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
503, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49prmind 11698 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
511, 50mpcom 36 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wrex 2392   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  0cc0 7584  1c1 7585   · cmul 7589  cmin 7897  cn 8677  2c2 8728  cz 9005  cuz 9275  cdvds 11389  cprime 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390  df-prm 11685
This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  11715  rpexp  11727
  Copyright terms: Public domain W3C validator