Theorem exprmfct 12712

Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9800	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)))
4		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑦))
6	5	rexbidv 2533	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦))
7	4, 6	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦)))
8		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
9		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑧))
10	9	rexbidv 2533	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧))
11	8, 10	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧)))
12		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2)))
13		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
14	13	rexbidv 2533	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
15	12, 14	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
18	17	rexbidv 2533	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁))
19	16, 18	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)))
20		1m1e0 9212	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
21		uz2m1nn 9839	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	eqeltrrid 2319	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℕ)
23		0nnn 9170	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
24	23	pm2.21i 651	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
25	22, 24	syl 14	. . 3 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
26		prmz 12685	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27		iddvds 12367	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 𝑥)
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∥ 𝑥)
29		breq1 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 ∥ 𝑥))
30	29	rspcev 2910	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
31	28, 30	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
32	31	a1d 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥))
33		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))
34		eluzelz 9765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36		eluzelz 9765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38		dvdsmul1 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40		prmz 12685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
41	40	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
42	35, 37	zmulcld 9608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43		dvdstr 12391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑦 ∧ 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
44	41, 35, 42, 43	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑦 ∧ 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
45	39, 44	mpan2d 428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑦 → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
46	45	reximdva 2634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
47	33, 46	embantd 56	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
48	47	a1dd 48	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
49	48	adantrd 279	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
50	3, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49	prmind 12695	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁))
51	1, 50	mpcom 36	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037   − cmin 8350  ℕcn 9143  2c2 9194  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755   ∥ cdvds 12350  ℙcprime 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-dvds 12351  df-prm 12682

This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  12713  isprm5lem  12715  rpexp  12727  pc2dvds  12905  oddprmdvds  12929  prmunb  12937  lgsne0  15770