ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exprmfct GIF version

Theorem exprmfct 12138
Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exprmfct (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem exprmfct
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9566 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 eleq1 2240 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
32imbi1d 231 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ) โ†” (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)))
4 eleq1 2240 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5 breq2 4008 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ))
65rexbidv 2478 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ))
74, 6imbi12d 234 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ)))
8 eleq1 2240 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
9 breq2 4008 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ง))
109rexbidv 2478 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง))
118, 10imbi12d 234 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง)))
12 eleq1 2240 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
13 breq2 4008 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
1413rexbidv 2478 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
1512, 14imbi12d 234 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
16 eleq1 2240 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
17 breq2 4008 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘))
1817rexbidv 2478 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
1916, 18imbi12d 234 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘)))
20 1m1e0 8988 . . . . 5 (1 โˆ’ 1) = 0
21 uz2m1nn 9605 . . . . 5 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (1 โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
2220, 21eqeltrrid 2265 . . . 4 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 0 โˆˆ โ„•)
23 0nnn 8946 . . . . 5 ยฌ 0 โˆˆ โ„•
2423pm2.21i 646 . . . 4 (0 โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)
2522, 24syl 14 . . 3 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)
26 prmz 12111 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
27 iddvds 11811 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ)
2826, 27syl 14 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ)
29 breq1 4007 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ))
3029rspcev 2842 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)
3128, 30mpdan 421 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)
3231a1d 22 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ))
33 simpl 109 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
34 eluzelz 9537 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
3534ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
36 eluzelz 9537 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3736ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
38 dvdsmul1 11820 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))
3935, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))
40 prmz 12111 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4140adantl 277 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4235, 37zmulcld 9381 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
43 dvdstr 11835 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
4441, 35, 42, 43syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
4539, 44mpan2d 428 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
4645reximdva 2579 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
4733, 46embantd 56 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
4847a1dd 48 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
4948adantrd 279 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
503, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49prmind 12121 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
511, 50mpcom 36 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  0cc0 7811  1c1 7812   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528   โˆฅ cdvds 11794  โ„™cprime 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-prm 12108
This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  12139  isprm5lem  12141  rpexp  12153  pc2dvds  12329  oddprmdvds  12352  prmunb  12360  lgsne0  14442
  Copyright terms: Public domain W3C validator