ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exprmfct GIF version

Theorem exprmfct 12092
Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exprmfct (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 9525 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 eleq1 2233 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ‘2)))
32imbi1d 230 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)))
4 eleq1 2233 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)))
5 breq2 3993 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝑥𝑝𝑦))
65rexbidv 2471 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦))
74, 6imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦)))
8 eleq1 2233 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
9 breq2 3993 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
109rexbidv 2471 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧))
118, 10imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)))
12 eleq1 2233 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2)))
13 breq2 3993 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝𝑥𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1413rexbidv 2471 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1512, 14imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16 eleq1 2233 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
17 breq2 3993 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑝𝑥𝑝𝑁))
1817rexbidv 2471 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
1916, 18imbi12d 233 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)))
20 1m1e0 8947 . . . . 5 (1 − 1) = 0
21 uz2m1nn 9564 . . . . 5 (1 ∈ (ℤ‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
2220, 21eqeltrrid 2258 . . . 4 (1 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℕ)
23 0nnn 8905 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
2423pm2.21i 641 . . . 4 (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
2522, 24syl 14 . . 3 (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
26 prmz 12065 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27 iddvds 11766 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑥)
2826, 27syl 14 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥𝑥)
29 breq1 3992 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑥𝑥𝑥))
3029rspcev 2834 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3128, 30mpdan 419 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3231a1d 22 . . 3 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥))
33 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
34 eluzelz 9496 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
3534ad2antrr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36 eluzelz 9496 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
3736ad2antlr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38 dvdsmul1 11775 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
3935, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40 prmz 12065 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
4140adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4235, 37zmulcld 9340 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43 dvdstr 11790 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4441, 35, 42, 43syl3anc 1233 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4539, 44mpan2d 426 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑦𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4645reximdva 2572 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4733, 46embantd 56 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4847a1dd 48 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
4948adantrd 277 . . 3 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
503, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49prmind 12075 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
511, 50mpcom 36 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wrex 2449   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  cmin 8090  cn 8878  2c2 8929  cz 9212  cuz 9487  cdvds 11749  cprime 12061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-prm 12062
This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  12093  isprm5lem  12095  rpexp  12107  pc2dvds  12283  oddprmdvds  12306  prmunb  12314  lgsne0  13733
  Copyright terms: Public domain W3C validator