ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgrest GIF version
Theorem tgrest 13708
Description: A subspace can be generated by restricted sets from a basis for the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgrest ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴))
Proof of Theorem tgrest
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restfn 12697 . . . . . 6 β†Ύt Fn (V Γ— V)
2 elex 2750 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ V)
3 elex 2750 . . . . . 6 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ 𝐴 ∈ V)
4 fnovex 5910 . . . . . 6 (( β†Ύt Fn (V Γ— V) ∧ 𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐡 β†Ύt 𝐴) ∈ V)
51, 2, 3, 4mp3an3an 1343 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝐡 β†Ύt 𝐴) ∈ V)
6 eltg3 13596 . . . . 5 ((𝐡 β†Ύt 𝐴) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
8 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
9 funmpt 5256 . . . . . . . . . 10 Fun (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴))
109a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ Fun (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
11 restval 12699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝐡 β†Ύt 𝐴) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
1211sseq2d 3187 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴) ↔ 𝑦 βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴))))
1312biimpa 296 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ 𝑦 βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
14 vex 2742 . . . . . . . . . . . . 13 π‘₯ ∈ V
1514inex1 4139 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ V
1615rgenw 2532 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ V
17 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴))
1817fnmpt 5344 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) Fn 𝐡)
19 fnima 5336 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) Fn 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝐡) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
2016, 18, 19mp2b 8 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝐡) = ran (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴))
2113, 20sseqtrrdi 3206 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ 𝑦 βŠ† ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝐡))
22 ssimaexg 5580 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ Fun (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 βŠ† ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧)))
238, 10, 21, 22syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧)))
24 df-ima 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) = ran ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β†Ύ 𝑧)
25 resmpt 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β†Ύ 𝑧) = (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
2625adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β†Ύ 𝑧) = (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
2726rneqd 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ ran ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β†Ύ 𝑧) = ran (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
2824, 27eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) = ran (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
2928unieqd 3822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
3015dfiun3 4888 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘₯ ∩ 𝐴) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴))
3129, 30eqtr4di 2228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘₯ ∩ 𝐴))
32 iunin1 3953 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘₯ ∩ 𝐴) = (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯ ∩ 𝐴)
3331, 32eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) = (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯ ∩ 𝐴))
34 tgvalex 12717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ V)
3534ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ V)
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
3736adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
38 uniiun 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ 𝑧 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯
39 eltg3i 13595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅))
4038, 39eqeltrrid 2265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅))
4140adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅))
42 elrestr 12701 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGenβ€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴))
4335, 37, 41, 42syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴))
4433, 43eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴))
45 unieq 3820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧))
4645eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴) ↔ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
4744, 46syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
4847expimpd 363 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
4948exlimdv 1819 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘§(𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
5049adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘§(𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) β€œ 𝑧)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
5123, 50mpd 13 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴))
52 eleq1 2240 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴) ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
5351, 52syl5ibrcom 157 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
5453expimpd 363 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
5554exlimdv 1819 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
567, 55sylbid 150 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴)))
5756ssrdv 3163 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)) βŠ† ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴))
58 restval 12699 . . . 4 (((topGenβ€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑀 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↦ (𝑀 ∩ 𝐴)))
5934, 36, 58syl2an2r 595 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑀 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↦ (𝑀 ∩ 𝐴)))
60 eltg3 13596 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 = βˆͺ 𝑧)))
6160adantr 276 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 = βˆͺ 𝑧)))
6238ineq1i 3334 . . . . . . . . . . . 12 (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴) = (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 π‘₯ ∩ 𝐴)
6362, 32eqtr4i 2201 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘₯ ∩ 𝐴)
64 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
65 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐡)
6766sselda 3157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
68 elrestr 12701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ (𝐡 β†Ύt 𝐴))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑧) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ (𝐡 β†Ύt 𝐴))
7069fmpttd 5673 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)):π‘§βŸΆ(𝐡 β†Ύt 𝐴))
7170frnd 5377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴))
72 eltg3i 13595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 β†Ύt 𝐴) ∈ V ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) βŠ† (𝐡 β†Ύt 𝐴)) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)))
735, 71, 72syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ 𝑧 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)))
7430, 73eqeltrid 2264 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑧 (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)))
7563, 74eqeltrid 2264 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)))
76 ineq1 3331 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆͺ 𝑧 β†’ (𝑀 ∩ 𝐴) = (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴))
7776eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆͺ 𝑧 β†’ ((𝑀 ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)) ↔ (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴))))
7875, 77syl5ibrcom 157 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑀 = βˆͺ 𝑧 β†’ (𝑀 ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴))))
7978expimpd 363 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 = βˆͺ 𝑧) β†’ (𝑀 ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴))))
8079exlimdv 1819 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘§(𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 = βˆͺ 𝑧) β†’ (𝑀 ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴))))
8161, 80sylbid 150 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (𝑀 ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴))))
8281imp 124 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ 𝑀 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (𝑀 ∩ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)))
8382fmpttd 5673 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↦ (𝑀 ∩ 𝐴)):(topGenβ€˜π΅)⟢(topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)))
8483frnd 5377 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑀 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↦ (𝑀 ∩ 𝐴)) βŠ† (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)))
8559, 84eqsstrd 3193 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴) βŠ† (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)))
8657, 85eqssd 3174 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝐡 β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜π΅) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2739   ∩ cin 3130   βŠ† wss 3131  βˆͺ cuni 3811  βˆͺ ciun 3888   ↦ cmpt 4066   Γ— cxp 4626  ran crn 4629   β†Ύ cres 4630   β€œ cima 4631  Fun wfun 5212   Fn wfn 5213  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   β†Ύt crest 12693  topGenctg 12708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-rest 12695  df-topgen 12714
This theorem is referenced by:  resttop  13709  txrest  13815
  Copyright terms: Public domain W3C validator