ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuexb GIF version

Theorem djuexb 7040
Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
djuexb ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb
StepHypRef Expression
1 djuex 7039 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 df-dju 7034 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
32eleq1i 2243 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4 unexb 4441 . . . 4 ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
53, 4bitr4i 187 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6 0ex 4129 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
76snm 3712 . . . . . 6 𝑥 𝑥 ∈ {∅}
8 rnxpm 5057 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥 ∈ {∅} → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴
10 rnexg 4891 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
119, 10eqeltrrid 2265 . . . 4 (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
12 1oex 6422 . . . . . . 7 1o ∈ V
1312snm 3712 . . . . . 6 𝑥 𝑥 ∈ {1o}
14 rnxpm 5057 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥 ∈ {1o} → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵
16 rnexg 4891 . . . . 5 (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
1715, 16eqeltrrid 2265 . . . 4 (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
1811, 17anim12i 338 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
195, 18sylbi 121 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
201, 19impbii 126 1 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  Vcvv 2737  cun 3127  c0 3422  {csn 3592   × cxp 4623  ran crn 4626  1oc1o 6407  cdju 7033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-tr 4101  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-dm 4635  df-rn 4636  df-1o 6414  df-dju 7034
This theorem is referenced by:  ctfoex  7114
  Copyright terms: Public domain W3C validator