Theorem djuexb 7110

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 7109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 7104	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2262	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 4477	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0ex 4160	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snm 3742	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {∅}
8		rnxpm 5099	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {∅} → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴
10		rnexg 4931	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrrid 2284	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
12		1oex 6482	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
13	12	snm 3742	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {1o}
14		rnxpm 5099	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {1o} → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵
16		rnexg 4931	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
17	15, 16	eqeltrrid 2284	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
18	11, 17	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
19	5, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	1, 19	impbii 126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  ∅c0 3450  {csn 3622   × cxp 4661  ran crn 4664  1_oc1o 6467   ⊔ cdju 7103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-1o 6474  df-dju 7104

This theorem is referenced by:  ctfoex  7184