Theorem djuexb 7089

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 7088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 7083	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 4467	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0ex 4152	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snm 3734	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {∅}
8		rnxpm 5083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {∅} → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴
10		rnexg 4917	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrrid 2277	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
12		1oex 6464	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
13	12	snm 3734	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {1o}
14		rnxpm 5083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {1o} → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵
16		rnexg 4917	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
17	15, 16	eqeltrrid 2277	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
18	11, 17	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
19	5, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	1, 19	impbii 126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  Vcvv 2756   ∪ cun 3147  ∅c0 3442  {csn 3614   × cxp 4649  ran crn 4652  1_oc1o 6449   ⊔ cdju 7082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2758  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-br 4026  df-opab 4087  df-tr 4124  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-dm 4661  df-rn 4662  df-1o 6456  df-dju 7083

This theorem is referenced by:  ctfoex  7163