Theorem djuexb 7021

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 7020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 7015	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 4427	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 186	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0ex 4116	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snm 3703	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {∅}
8		rnxpm 5040	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {∅} → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴
10		rnexg 4876	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrrid 2258	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
12		1oex 6403	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
13	12	snm 3703	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {1o}
14		rnxpm 5040	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {1o} → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵
16		rnexg 4876	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
17	15, 16	eqeltrrid 2258	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
18	11, 17	anim12i 336	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
19	5, 18	sylbi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	1, 19	impbii 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  {csn 3583   × cxp 4609  ran crn 4612  1_oc1o 6388   ⊔ cdju 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-1o 6395  df-dju 7015

This theorem is referenced by:  ctfoex  7095