Theorem djuexb 7348

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 7347	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 7342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2300	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 4568	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0ex 4242	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snm 3817	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {∅}
8		rnxpm 5197	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {∅} → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴
10		rnexg 5027	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrrid 2322	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
12		1oex 6668	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
13	12	snm 3817	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {1o}
14		rnxpm 5197	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {1o} → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵
16		rnexg 5027	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
17	15, 16	eqeltrrid 2322	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
18	11, 17	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
19	5, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	1, 19	impbii 126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∪ cun 3212  ∅c0 3512  {csn 3694   × cxp 4752  ran crn 4755  1_oc1o 6653   ⊔ cdju 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-1o 6660  df-dju 7342

This theorem is referenced by:  ctfoex  7422