Theorem djuexb 7242

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 7241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 7236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2297	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 4539	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0ex 4216	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snm 3792	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {∅}
8		rnxpm 5166	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {∅} → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴
10		rnexg 4997	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
11	9, 10	eqeltrrid 2319	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
12		1oex 6589	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
13	12	snm 3792	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ {1o}
14		rnxpm 5166	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {1o} → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵
16		rnexg 4997	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
17	15, 16	eqeltrrid 2319	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
18	11, 17	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
19	5, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	1, 19	impbii 126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∪ cun 3198  ∅c0 3494  {csn 3669   × cxp 4723  ran crn 4726  1_oc1o 6574   ⊔ cdju 7235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-1o 6581  df-dju 7236

This theorem is referenced by:  ctfoex  7316