ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infpnlem1 GIF version

Theorem infpnlem1 12340
Description: Lemma for infpn 12342. The smallest divisor (greater than 1) 𝑀 of 𝑁! + 1 is a prime greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
Assertion
Ref Expression
infpnlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝑗,𝑀   𝑗,𝐾

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnz 9261 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
21ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 nnz 9261 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
43ad2antlr 489 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 zdclt 9319 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
62, 4, 5syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → DECID 𝑁 < 𝑀)
7 nnre 8915 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
8 nnre 8915 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9 lenlt 8023 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
107, 8, 9syl2anr 290 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
1110adantr 276 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
12 nnnn0 9172 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 facndiv 10703 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
14 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
1514oveq1i 5879 . . . . . . . . . 10 (𝐾 / 𝑀) = (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀)
16 nnz 9261 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝐾 / 𝑀) ∈ ℤ)
1715, 16eqeltrrid 2265 . . . . . . . . 9 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
1813, 17nsyl 628 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
1912, 18sylanl1 402 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
2019expr 375 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
2111, 20sylbird 170 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (¬ 𝑁 < 𝑀 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
22 condc 853 . . . . 5 (DECID 𝑁 < 𝑀 → ((¬ 𝑁 < 𝑀 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → 𝑁 < 𝑀)))
236, 21, 22sylc 62 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → 𝑁 < 𝑀))
2423expimpd 363 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → 𝑁 < 𝑀))
2524adantrd 279 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → 𝑁 < 𝑀))
2612faccld 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2726peano2nnd 8923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2814, 27eqeltrid 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
2928nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
30 nndivtr 8950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)
3130ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
32313com13 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
33323expa 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
3429, 33sylanl1 402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
3534adantrl 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
36 nnre 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
37 letri3 8028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3836, 7, 37syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3938biimprd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑗𝑀𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀))
4039exp4b 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
4140com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
4241imp32 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
4342adantll 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
4443imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
4544com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4635, 45sylan2d 294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4746exp4d 369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑗 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4847com24 87 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4948exp32 365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
5049com24 87 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
5150imp31 256 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
5251com14 88 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑗 → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
53523imp 1193 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
5453com3l 81 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5554ralimdva 2544 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5655ex 115 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5756adantld 278 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5857impd 254 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
59 prime 9341 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
6059adantl 277 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
6158, 60sylibrd 169 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀))))
6225, 61jcad 307 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cle 7983   / cdiv 8618  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  !cfa 10689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-fac 10690
This theorem is referenced by:  infpnlem2  12341
  Copyright terms: Public domain W3C validator