Theorem grppropstrg 13604

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstrg	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Proof of Theorem grppropstrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		basfn 13143	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
3		elex 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
4		funfvex 5656	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐾 ∈ dom Base) → (Base‘𝐾) ∈ V)
5	4	funfni 5432	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐾 ∈ V) → (Base‘𝐾) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrrid 2319	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
8		grppropstr.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		plusgslid 13197	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13111	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) ∈ V)
11	8, 10	eqeltrrid 2319	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + ∈ V)
12		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12	grpbaseg 13212	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
14	7, 11, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
15	1, 14	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
16	14, 15	eqtr4d 2267	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
17	12	grpplusgg 13213	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → + = (+g‘𝐿))
18	7, 11, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐿))
19	8, 18	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿))
20	19	oveqdr 6046	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
21	16, 14, 20	grppropd 13602	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  {cpr 3670  ⟨cop 3672   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  ndxcnx 13081  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  Grpcgrp 13585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588

This theorem is referenced by:  ring1  14075