Theorem grppropstrg 13777

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstrg	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Proof of Theorem grppropstrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		basfn 13358	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
3		elex 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
4		funfvex 5692	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐾 ∈ dom Base) → (Base‘𝐾) ∈ V)
5	4	funfni 5463	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐾 ∈ V) → (Base‘𝐾) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrrid 2322	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
8		grppropstr.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		plusgslid 13412	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13326	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) ∈ V)
11	8, 10	eqeltrrid 2322	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + ∈ V)
12		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12	grpbaseg 13427	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
14	7, 11, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
15	1, 14	eqtrid 2279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
16	14, 15	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
17	12	grpplusgg 13428	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → + = (+g‘𝐿))
18	7, 11, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐿))
19	8, 18	eqtrid 2279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿))
20	19	oveqdr 6086	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
21	16, 14, 20	grppropd 13775	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  {cpr 3695  ⟨cop 3697   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  ndxcnx 13296  Basecbs 13299  +_gcplusg 13377  Grpcgrp 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-plusg 13390  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761

This theorem is referenced by:  ring1  14305