Theorem grppropstrg 13753

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstrg	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Proof of Theorem grppropstrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		basfn 13292	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
3		elex 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
4		funfvex 5689	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐾 ∈ dom Base) → (Base‘𝐾) ∈ V)
5	4	funfni 5460	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐾 ∈ V) → (Base‘𝐾) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrrid 2322	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
8		grppropstr.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		plusgslid 13346	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13260	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) ∈ V)
11	8, 10	eqeltrrid 2322	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + ∈ V)
12		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12	grpbaseg 13361	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
14	7, 11, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
15	1, 14	eqtrid 2279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
16	14, 15	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
17	12	grpplusgg 13362	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → + = (+g‘𝐿))
18	7, 11, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐿))
19	8, 18	eqtrid 2279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿))
20	19	oveqdr 6080	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
21	16, 14, 20	grppropd 13751	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  {cpr 3692  ⟨cop 3694   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  ndxcnx 13230  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  Grpcgrp 13734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737

This theorem is referenced by:  ring1  14224