Theorem grppropstrg 13884

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstrg	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Proof of Theorem grppropstrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		basfn 13470	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
3		elex 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
4		funfvex 5715	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐾 ∈ dom Base) → (Base‘𝐾) ∈ V)
5	4	funfni 5486	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐾 ∈ V) → (Base‘𝐾) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrrid 2326	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
8		grppropstr.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		plusgslid 13526	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13438	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) ∈ V)
11	8, 10	eqeltrrid 2326	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + ∈ V)
12		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12	grpbaseg 13541	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
14	7, 11, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
15	1, 14	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
16	14, 15	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
17	12	grpplusgg 13542	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → + = (+g‘𝐿))
18	7, 11, 17	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐿))
19	8, 18	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿))
20	19	oveqdr 6116	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
21	16, 14, 20	grppropd 13882	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {cpr 3710  ⟨cop 3712   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  ndxcnx 13408  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  Grpcgrp 13865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868

This theorem is used by:  ring1  14472