Theorem grppropstrg 13573

Description: Generalize a specific 2-element group 𝐿 to show that any set 𝐾 with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
grppropstr.p	⊢ (+g‘𝐾) = +
grppropstr.l	⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
grppropstrg	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Proof of Theorem grppropstrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐵
2		basfn 13112	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
3		elex 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
4		funfvex 5649	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐾 ∈ dom Base) → (Base‘𝐾) ∈ V)
5	4	funfni 5426	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐾 ∈ V) → (Base‘𝐾) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrrid 2317	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
8		grppropstr.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = +
9		plusgslid 13166	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13080	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) ∈ V)
11	8, 10	eqeltrrid 2317	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + ∈ V)
12		grppropstr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12	grpbaseg 13181	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
14	7, 11, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
15	1, 14	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
16	14, 15	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
17	12	grpplusgg 13182	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ + ∈ V) → + = (+g‘𝐿))
18	7, 11, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝐿))
19	8, 18	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿))
20	19	oveqdr 6038	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
21	16, 14, 20	grppropd 13571	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {cpr 3667  ⟨cop 3669   Fn wfn 5316  ‘cfv 5321  ndxcnx 13050  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  Grpcgrp 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557

This theorem is referenced by:  ring1  14043