ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprlu GIF version

Theorem nqprlu 7577
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nqprlu (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝑢,𝐴

Proof of Theorem nqprlu
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4022 . . . . 5 (𝑙 = 𝑎 → (𝐴 <Q 𝑙𝐴 <Q 𝑎))
21cbvabv 2314 . . . 4 {𝑙𝐴 <Q 𝑙} = {𝑎𝐴 <Q 𝑎}
3 breq2 4022 . . . . 5 (𝑢 = 𝑎 → (𝐴 <Q 𝑢𝐴 <Q 𝑎))
43cbvabv 2314 . . . 4 {𝑢𝐴 <Q 𝑢} = {𝑎𝐴 <Q 𝑎}
52, 4eqtr4i 2213 . . 3 {𝑙𝐴 <Q 𝑙} = {𝑢𝐴 <Q 𝑢}
65opeq2i 3797 . 2 ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑙𝐴 <Q 𝑙}⟩ = ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩
7 nqprxx 7576 . 2 (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑙𝐴 <Q 𝑙}⟩ ∈ P)
86, 7eqeltrrid 2277 1 (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2160  {cab 2175  cop 3610   class class class wbr 4018  Qcnq 7310   <Q cltq 7315  Pcnp 7321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383  df-inp 7496
This theorem is referenced by:  recnnpr  7578  nqprl  7581  nqpru  7582  nnprlu  7583  1pr  7584  addnqprlemrl  7587  addnqprlemru  7588  addnqprlemfl  7589  addnqprlemfu  7590  addnqpr  7591  mulnqprlemrl  7603  mulnqprlemru  7604  mulnqprlemfl  7605  mulnqprlemfu  7606  mulnqpr  7607  ltnqpr  7623  ltnqpri  7624  prplnqu  7650  caucvgprlemcanl  7674  cauappcvgprlemladdfu  7684  cauappcvgprlemladdfl  7685  cauappcvgprlemladdru  7686  cauappcvgprlemladdrl  7687  cauappcvgprlemladd  7688  cauappcvgprlem1  7689  cauappcvgprlem2  7690  caucvgprlemladdfu  7707  caucvgprlemladdrl  7708  caucvgprlem1  7709  caucvgprlem2  7710  caucvgprprlemnkltj  7719  caucvgprprlemnkeqj  7720  caucvgprprlemmu  7725  caucvgprprlemopu  7729  caucvgprprlemloc  7733  caucvgprprlemexbt  7736  caucvgprprlem1  7739  caucvgprprlem2  7740  suplocexprlemloc  7751  ltrennb  7884
  Copyright terms: Public domain W3C validator