ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprlu GIF version

Theorem nqprlu 7367
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nqprlu (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝑢,𝐴

Proof of Theorem nqprlu
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3933 . . . . 5 (𝑙 = 𝑎 → (𝐴 <Q 𝑙𝐴 <Q 𝑎))
21cbvabv 2264 . . . 4 {𝑙𝐴 <Q 𝑙} = {𝑎𝐴 <Q 𝑎}
3 breq2 3933 . . . . 5 (𝑢 = 𝑎 → (𝐴 <Q 𝑢𝐴 <Q 𝑎))
43cbvabv 2264 . . . 4 {𝑢𝐴 <Q 𝑢} = {𝑎𝐴 <Q 𝑎}
52, 4eqtr4i 2163 . . 3 {𝑙𝐴 <Q 𝑙} = {𝑢𝐴 <Q 𝑢}
65opeq2i 3709 . 2 ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑙𝐴 <Q 𝑙}⟩ = ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩
7 nqprxx 7366 . 2 (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑙𝐴 <Q 𝑙}⟩ ∈ P)
86, 7eqeltrrid 2227 1 (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480  {cab 2125  cop 3530   class class class wbr 3929  Qcnq 7100   <Q cltq 7105  Pcnp 7111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-inp 7286
This theorem is referenced by:  recnnpr  7368  nqprl  7371  nqpru  7372  nnprlu  7373  1pr  7374  addnqprlemrl  7377  addnqprlemru  7378  addnqprlemfl  7379  addnqprlemfu  7380  addnqpr  7381  mulnqprlemrl  7393  mulnqprlemru  7394  mulnqprlemfl  7395  mulnqprlemfu  7396  mulnqpr  7397  ltnqpr  7413  ltnqpri  7414  prplnqu  7440  caucvgprlemcanl  7464  cauappcvgprlemladdfu  7474  cauappcvgprlemladdfl  7475  cauappcvgprlemladdru  7476  cauappcvgprlemladdrl  7477  cauappcvgprlemladd  7478  cauappcvgprlem1  7479  cauappcvgprlem2  7480  caucvgprlemladdfu  7497  caucvgprlemladdrl  7498  caucvgprlem1  7499  caucvgprlem2  7500  caucvgprprlemnkltj  7509  caucvgprprlemnkeqj  7510  caucvgprprlemmu  7515  caucvgprprlemopu  7519  caucvgprprlemloc  7523  caucvgprprlemexbt  7526  caucvgprprlem1  7529  caucvgprprlem2  7530  suplocexprlemloc  7541  ltrennb  7674
  Copyright terms: Public domain W3C validator