Theorem iccshftl 10328

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftl.1	⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
iccshftl.2	⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftl	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		resubcl 8536	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 175	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ))
5		lesub1 8729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
6	5	3expb 1231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
7	6	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
8		iccshftl.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
9	8	breq1i 4115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅))
10	7, 9	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅)))
11		lesub1 8729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
12	11	3expb 1231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
13	12	an12s 567	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
14	13	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
15		iccshftl.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷
16	15	breq2i 4116	. . . 4 ⊢ ((𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅) ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)
17	14, 16	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷))
18	4, 10, 17	3anbi123d 1349	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
19		elicc2 10270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
20	19	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21		resubcl 8536	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℝ)
22	8, 21	eqeltrrid 2320	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		resubcl 8536	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑅) ∈ ℝ)
24	15, 23	eqeltrrid 2320	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		elicc2 10270	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
27	26	anandirs 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
28	27	adantrl 478	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	18, 20, 28	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℝcr 8125   ≤ cle 8308   − cmin 8443  [,]cicc 10223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-icc 10227

This theorem is referenced by:  iccshftli  10329  iccf1o  10337