Theorem cnmptid 14449

Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cnmptid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem cnmptid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equcom 1717	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
2	1	opabbii 4096	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 = 𝑦} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑦 = 𝑥}
3		df-id 4324	. . . . 5 ⊢ I = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 = 𝑦}
4		mptv 4126	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝑥) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑦 = 𝑥}
5	2, 3, 4	3eqtr4i 2224	. . . 4 ⊢ I = (𝑥 ∈ V ↦ 𝑥)
6	5	reseq1i 4938	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝑥) ↾ 𝑋)
7		ssv 3201	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ V
8		resmpt 4990	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ V → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝑥) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝑥) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
10	6, 9	eqtri 2214	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥)
11		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12		idcn 14380	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
14	10, 13	eqeltrrid 2281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153  {copab 4089   ↦ cmpt 4090   I cid 4319   ↾ cres 4661  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  TopOnctopon 14178   Cn ccn 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-top 14166  df-topon 14179  df-cn 14356

This theorem is referenced by:  imasnopn  14467