ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hmeoima GIF version

Theorem hmeoima 12516
Description: The image of an open set by a homeomorphism is an open set. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeoima ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem hmeoima
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 12512 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2 imacnvcnv 5010 . . 3 (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
3 cnima 12426 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
42, 3eqeltrrid 2228 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
51, 4sylan 281 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481  ccnv 4545  cima 4549  (class class class)co 5781   Cn ccn 12391  Homeochmeo 12506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-top 12202  df-topon 12215  df-cn 12394  df-hmeo 12507
This theorem is referenced by:  hmeoopn  12517  hmeoimaf1o  12520
  Copyright terms: Public domain W3C validator