ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttopon GIF version
Theorem resttopon 13756
Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Proof of Theorem resttopon
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 13599 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 276 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 id 19 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 toponmax 13610 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 ssexg 4144 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 ∈ V)
63, 4, 5syl2anr 290 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
7 resttop 13755 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
82, 6, 7syl2anc 411 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
9 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
10 sseqin2 3356 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
119, 10sylib 122 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
12 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
134adantr 276 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
14 elrestr 12701 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1512, 6, 13, 14syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1611, 15eqeltrrd 2255 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
17 elssuni 3839 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1816, 17syl 14 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
19 restval 12699 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = ran (π‘₯ ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
206, 19syldan 282 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = ran (π‘₯ ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)))
21 inss2 3358 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
22 vex 2742 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
2322inex1 4139 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ V
2423elpw 3583 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (π‘₯ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
2521, 24mpbir 146 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴
2625a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝐴)
2726fmpttd 5673 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)):π½βŸΆπ’« 𝐴)
2827frnd 5377 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝐴)
2920, 28eqsstrd 3193 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βŠ† 𝒫 𝐴)
30 sspwuni 3973 . . . 4 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βŠ† 𝐴)
3129, 30sylib 122 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) βŠ† 𝐴)
3218, 31eqssd 3174 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
33 istopon 13598 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ↔ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)))
348, 32, 33sylanbrc 417 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∩ cin 3130   βŠ† wss 3131  π’« cpw 3577  βˆͺ cuni 3811   ↦ cmpt 4066  ran crn 4629  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   β†Ύt crest 12693  Topctop 13582  TopOnctopon 13595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628
This theorem is referenced by:  restuni  13757  stoig  13758  cnrest  13820  cnrest2  13821  cnrest2r  13822  cnptopresti  13823  cnptoprest  13824  cnptoprest2  13825  divcnap  14140  cncfmpt2fcntop  14170  cnplimcim  14221  cnlimcim  14225  cnlimc  14226  limccnpcntop  14229  limccnp2lem  14230  limccnp2cntop  14231  dvfvalap  14235  dvbss  14239  dvfgg  14242  dvcnp2cntop  14248  dvcn  14249  dvaddxxbr  14250  dvmulxxbr  14251
  Copyright terms: Public domain W3C validator