ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttopon GIF version

Theorem resttopon 13304
Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem resttopon
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 13145 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
21adantr 276 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3 id 19 . . . 4 (𝐴𝑋𝐴𝑋)
4 toponmax 13156 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
5 ssexg 4139 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑋𝐽) → 𝐴 ∈ V)
63, 4, 5syl2anr 290 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
7 resttop 13303 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
82, 6, 7syl2anc 411 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
9 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
10 sseqin2 3354 . . . . . 6 (𝐴𝑋 ↔ (𝑋𝐴) = 𝐴)
119, 10sylib 122 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑋𝐴) = 𝐴)
12 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
134adantr 276 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑋𝐽)
14 elrestr 12631 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋𝐽) → (𝑋𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
1512, 6, 13, 14syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑋𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
1611, 15eqeltrrd 2255 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ (𝐽t 𝐴))
17 elssuni 3835 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐴 (𝐽t 𝐴))
1816, 17syl 14 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 (𝐽t 𝐴))
19 restval 12629 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)))
206, 19syldan 282 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)))
21 inss2 3356 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴
22 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
2322inex1 4134 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴) ∈ V
2423elpw 3580 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴)
2521, 24mpbir 146 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 𝐴
2625a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝐴) ∈ 𝒫 𝐴)
2726fmpttd 5666 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)):𝐽⟶𝒫 𝐴)
2827frnd 5370 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝒫 𝐴)
2920, 28eqsstrd 3191 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
30 sspwuni 3968 . . . 4 ((𝐽t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 (𝐽t 𝐴) ⊆ 𝐴)
3129, 30sylib 122 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ⊆ 𝐴)
3218, 31eqssd 3172 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
33 istopon 13144 . 2 ((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ ((𝐽t 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐴 = (𝐽t 𝐴)))
348, 32, 33sylanbrc 417 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  𝒫 cpw 3574   cuni 3807  cmpt 4061  ran crn 4623  cfv 5211  (class class class)co 5868  t crest 12623  Topctop 13128  TopOnctopon 13141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174
This theorem is referenced by:  restuni  13305  stoig  13306  cnrest  13368  cnrest2  13369  cnrest2r  13370  cnptopresti  13371  cnptoprest  13372  cnptoprest2  13373  divcnap  13688  cncfmpt2fcntop  13718  cnplimcim  13769  cnlimcim  13773  cnlimc  13774  limccnpcntop  13777  limccnp2lem  13778  limccnp2cntop  13779  dvfvalap  13783  dvbss  13787  dvfgg  13790  dvcnp2cntop  13796  dvcn  13797  dvaddxxbr  13798  dvmulxxbr  13799
  Copyright terms: Public domain W3C validator