Theorem dvcj 13313

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 13312. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcj	⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcj

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
3		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
4	1, 2, 3	dvcjbr 13312	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
5		cjf 10789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
6		fco 5353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
7	5, 6	mpan 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
9	7	fdmd 5344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → dom (∗ ∘ 𝐹) = 𝑋)
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (∗ ∘ 𝐹) = 𝑋)
11	10	feq2d 5325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((∗ ∘ 𝐹):dom (∗ ∘ 𝐹)⟶ℂ ↔ (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ))
12	8, 11	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹):dom (∗ ∘ 𝐹)⟶ℂ)
13		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	10, 13	eqsstrd 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (∗ ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
15		cnex 7877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
16		reex 7887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
17	15, 16	elpm2 6646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗ ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ ((∗ ∘ 𝐹):dom (∗ ∘ 𝐹)⟶ℂ ∧ dom (∗ ∘ 𝐹) ⊆ ℝ))
18	12, 14, 17	sylanbrc 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
19		dvfpm 13298	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ)
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ)
21	20	ffund 5341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
22		funbrfv 5525	. . . . . 6 ⊢ (Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
24	23	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
25	4, 24	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
26	25	mpteq2dva 4072	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
27		vex 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	20	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) ∈ ℂ)
29	28	cjcld 10882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → (∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) ∈ ℂ)
30	7	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
31		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
32		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
33	30, 31, 32	dvcjbr 13312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
34		breldmg 4810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
35	27, 29, 33, 34	mp3an2i 1332	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
36	35	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))))
37	36	ssrdv 3148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
38		ffvelrn 5618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
39	38	adantlr 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
40	39	cjcjd 10885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
41	40	mpteq2dva 4072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
42	39	cjcld 10882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
43		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
44	43	feqmptd 5539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
45	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
46	45	feqmptd 5539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
47		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
48	39, 44, 46, 47	fmptco 5651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑥))))
49		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (∗‘(𝐹‘𝑥)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥))))
50	42, 48, 46, 49	fmptco 5651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥)))))
51	41, 50, 44	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = 𝐹)
52	51	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
53	52	dmeqd 4806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
54	37, 53	sseqtrd 3180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
55		ffdm 5358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑋))
56	55	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
57	56	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
58		fdm 5343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑋)
59	58	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑋)
60	59, 13	eqsstrd 3178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
61	15, 16	elpm2 6646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
62	57, 60, 61	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
63		dvfpm 13298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
64	62, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
65	64	ffvelrnda 5620	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
66	65	cjcld 10882	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ)
67		breldmg 4810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
68	27, 66, 4, 67	mp3an2i 1332	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
69	54, 68	eqelssd 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
70	69	feq2d 5325	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ ↔ (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ))
71	20, 70	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
72	71	feqmptd 5539	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
73	64	feqmptd 5539	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
74		fveq2 5486	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
75	65, 73, 46, 74	fmptco 5651	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
76	26, 72, 75	3eqtr4d 2208	1 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  dom cdm 4604   ∘ ccom 4608  Fun wfun 5182  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ↑_pm cpm 6615  ℂcc 7751  ℝcr 7752  ∗ccj 10781   D cdv 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  dvfre  13314  dvmptcjx  13326