ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcj GIF version
Theorem dvcj 14258
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 14257. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcj ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
Proof of Theorem dvcj
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
2 simplr 528 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
3 simpr 110 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
41, 2, 3dvcjbr 14257 . . . 4 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
5 cjf 10858 . . . . . . . . . . . 12 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
6 fco 5383 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
75, 6mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
87adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
97fdmd 5374 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ dom (βˆ— ∘ 𝐹) = 𝑋)
109adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (βˆ— ∘ 𝐹) = 𝑋)
1110feq2d 5355 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹):dom (βˆ— ∘ 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
128, 11mpbird 167 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):dom (βˆ— ∘ 𝐹)βŸΆβ„‚)
13 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
1410, 13eqsstrd 3193 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (βˆ— ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
15 cnex 7937 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
16 reex 7947 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
1715, 16elpm2 6682 . . . . . . . . 9 ((βˆ— ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ ((βˆ— ∘ 𝐹):dom (βˆ— ∘ 𝐹)βŸΆβ„‚ ∧ dom (βˆ— ∘ 𝐹) βŠ† ℝ))
1812, 14, 17sylanbrc 417 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
19 dvfpm 14243 . . . . . . . 8 ((βˆ— ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚)
2018, 19syl 14 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚)
2120ffund 5371 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ Fun (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
22 funbrfv 5556 . . . . . 6 (Fun (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) β†’ (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
2321, 22syl 14 . . . . 5 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
2423adantr 276 . . . 4 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
254, 24mpd 13 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
2625mpteq2dva 4095 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
27 vex 2742 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
2820ffvelcdmda 5653 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2928cjcld 10951 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
307ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
31 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
32 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
3330, 31, 32dvcjbr 14257 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))(βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)))
34 breldmg 4835 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ V ∧ (βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))(βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
3527, 29, 33, 34mp3an2i 1342 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
3635ex 115 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))))
3736ssrdv 3163 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) βŠ† dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
38 ffvelcdm 5651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3938adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4039cjcjd 10954 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
4140mpteq2dva 4095 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
4239cjcld 10951 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
43 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
4443feqmptd 5571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
455a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
4645feqmptd 5571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ βˆ— = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘¦)))
47 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4839, 44, 46, 47fmptco 5684 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
49 fveq2 5517 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5042, 48, 46, 49fmptco 5684 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
5141, 50, 443eqtr4d 2220 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)) = 𝐹)
5251oveq2d 5893 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
5352dmeqd 4831 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
5437, 53sseqtrd 3195 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
55 ffdm 5388 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑋))
5655simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
5756adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
58 fdm 5373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
5958adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
6059, 13eqsstrd 3193 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
6115, 16elpm2 6682 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
6257, 60, 61sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
63 dvfpm 14243 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
6462, 63syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
6564ffvelcdmda 5653 . . . . . . . 8 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6665cjcld 10951 . . . . . . 7 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
67 breldmg 4835 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ V ∧ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
6827, 66, 4, 67mp3an2i 1342 . . . . . 6 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
6954, 68eqelssd 3176 . . . . 5 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
7069feq2d 5355 . . . 4 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚ ↔ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚))
7120, 70mpbid 147 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
7271feqmptd 5571 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)))
7364feqmptd 5571 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
74 fveq2 5517 . . 3 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
7565, 73, 46, 74fmptco 5684 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
7626, 72, 753eqtr4d 2220 1 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  dom cdm 4628   ∘ ccom 4632  Fun wfun 5212  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ↑pm cpm 6651  β„‚cc 7811  β„cr 7812  βˆ—ccj 10850   D cdv 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-ioo 9894  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211
This theorem is referenced by:  dvfre  14259  dvmptcjx  14271
  Copyright terms: Public domain W3C validator