Theorem dvcj 15700

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 15699. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcj	⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcj

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
3		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
4	1, 2, 3	dvcjbr 15699	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
5		cjf 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
6		fco 5532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
7	5, 6	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
9	7	fdmd 5520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → dom (∗ ∘ 𝐹) = 𝑋)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (∗ ∘ 𝐹) = 𝑋)
11	10	feq2d 5501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((∗ ∘ 𝐹):dom (∗ ∘ 𝐹)⟶ℂ ↔ (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ))
12	8, 11	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹):dom (∗ ∘ 𝐹)⟶ℂ)
13		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	10, 13	eqsstrd 3278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (∗ ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
15		cnex 8267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
16		reex 8277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
17	15, 16	elpm2 6927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗ ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ ((∗ ∘ 𝐹):dom (∗ ∘ 𝐹)⟶ℂ ∧ dom (∗ ∘ 𝐹) ⊆ ℝ))
18	12, 14, 17	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
19		dvfpm 15680	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ)
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ)
21	20	ffund 5517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
22		funbrfv 5718	. . . . . 6 ⊢ (Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
25	4, 24	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
26	25	mpteq2dva 4205	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
27		vex 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	20	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) ∈ ℂ)
29	28	cjcld 11650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → (∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) ∈ ℂ)
30	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
31		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
32		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
33	30, 31, 32	dvcjbr 15699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
34		breldmg 4967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
35	27, 29, 33, 34	mp3an2i 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
36	35	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))))
37	36	ssrdv 3248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
38		ffvelcdm 5815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
39	38	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
40	39	cjcjd 11653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
41	40	mpteq2dva 4205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
42	39	cjcld 11650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
43		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
44	43	feqmptd 5735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
45	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
46	45	feqmptd 5735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
47		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
48	39, 44, 46, 47	fmptco 5848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑥))))
49		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (∗‘(𝐹‘𝑥)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥))))
50	42, 48, 46, 49	fmptco 5848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥)))))
51	41, 50, 44	3eqtr4d 2277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = 𝐹)
52	51	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
53	52	dmeqd 4963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
54	37, 53	sseqtrd 3280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
55		ffdm 5538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑋))
56	55	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
58		fdm 5519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝑋)
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑋)
60	59, 13	eqsstrd 3278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
61	15, 16	elpm2 6927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
62	57, 60, 61	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
63		dvfpm 15680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
64	62, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
65	64	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
66	65	cjcld 11650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ)
67		breldmg 4967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
68	27, 66, 4, 67	mp3an2i 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
69	54, 68	eqelssd 3261	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
70	69	feq2d 5501	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ ↔ (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ))
71	20, 70	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
72	71	feqmptd 5735	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
73	64	feqmptd 5735	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
74		fveq2 5675	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
75	65, 73, 46, 74	fmptco 5848	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
76	26, 72, 75	3eqtr4d 2277	1 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  dom cdm 4754   ∘ ccom 4758  Fun wfun 5351  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ↑_pm cpm 6896  ℂcc 8141  ℝcr 8142  ∗ccj 11549   D cdv 15646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pm 6898  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-ntr 15087  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-cncf 15562  df-limced 15647  df-dvap 15648

This theorem is referenced by:  dvfre  15701  dvmptcjx  15715