Theorem sseq1d 3186

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3180	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ⊆ wss 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-in 3137  df-ss 3144

This theorem is referenced by:  sseq12d  3188  eqsstrd  3193  snssgOLD  3730  ssiun2s  3932  treq  4109  onsucsssucexmid  4528  funimass1  5295  feq1  5350  sbcfg  5366  fvmptssdm  5603  fvimacnvi  5633  nnsucsssuc  6496  ereq1  6545  elpm2r  6669  fipwssg  6981  nnnninf  7127  ctssexmid  7151  rspssp  13612  iscnp  13887  iscnp4  13906  cnntr  13913  cnconst2  13921  cnptopresti  13926  cnptoprest  13927  txbas  13946  txcnp  13959  txdis  13965  txdis1cn  13966  blssps  14115  blss  14116  ssblex  14119  blin2  14120  metss2  14186  metrest  14194  metcnp3  14199  cnopnap  14282  limccl  14316  ellimc3apf  14317