Theorem sseq1d 3253

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3247	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  sseq12d  3255  eqsstrd  3260  snssgOLD  3804  ssiun2s  4009  treq  4188  onsucsssucexmid  4619  funimass1  5398  feq1  5456  sbcfg  5472  fvmptssdm  5721  fvimacnvi  5751  nnsucsssuc  6646  ereq1  6695  elpm2r  6821  fipwssg  7154  nnnninf  7301  ctssexmid  7325  rspssp  14466  iscnp  14881  iscnp4  14900  cnntr  14907  cnconst2  14915  cnptopresti  14920  cnptoprest  14921  txbas  14940  txcnp  14953  txdis  14959  txdis1cn  14960  blssps  15109  blss  15110  ssblex  15113  blin2  15114  metss2  15180  metrest  15188  metcnp3  15193  cnopnap  15293  limccl  15341  ellimc3apf  15342  ausgrumgrien  15976  ausgrusgrien  15977