Theorem sseq1d 3256

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3250	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  sseq12d  3258  eqsstrd  3263  snssgOLD  3809  ssiun2s  4014  treq  4193  onsucsssucexmid  4625  funimass1  5407  feq1  5465  sbcfg  5481  fvmptssdm  5731  fvimacnvi  5761  nnsucsssuc  6660  ereq1  6709  elpm2r  6835  fipwssg  7178  nnnninf  7325  ctssexmid  7349  rspssp  14511  iscnp  14926  iscnp4  14945  cnntr  14952  cnconst2  14960  cnptopresti  14965  cnptoprest  14966  txbas  14985  txcnp  14998  txdis  15004  txdis1cn  15005  blssps  15154  blss  15155  ssblex  15158  blin2  15159  metss2  15225  metrest  15233  metcnp3  15238  cnopnap  15338  limccl  15386  ellimc3apf  15387  ausgrumgrien  16024  ausgrusgrien  16025  eupth2lem3lem4fi  16327