Theorem sseq1d 3277

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3271	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12d  3279  eqsstrd  3284  snssgOLD  3851  ssiun2s  4056  treq  4237  onsucsssucexmid  4676  funimass1  5461  feq1  5519  sbcfg  5535  fvmptssdm  5793  fvimacnvi  5826  nnsucsssuc  6769  ereq1  6818  elpm2r  6944  fipwssg  7319  nnnninf  7473  ctssexmid  7497  rspssp  14941  iscnp  15437  iscnp4  15456  cnntr  15463  cnconst2  15471  cnptopresti  15476  cnptoprest  15477  txbas  15496  txcnp  15509  txdis  15515  txdis1cn  15516  blssps  15665  blss  15666  ssblex  15669  blin2  15670  metss2  15736  metrest  15744  metcnp3  15749  cnopnap  15849  limccl  15897  ellimc3apf  15898  ausgrumgrien  16628  ausgrusgrien  16629  eupth2lem3lem4fi  16931