Theorem sseq1d 3255

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3249	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ⊆ wss 3199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-in 3205  df-ss 3212

This theorem is referenced by:  sseq12d  3257  eqsstrd  3262  snssgOLD  3810  ssiun2s  4015  treq  4194  onsucsssucexmid  4627  funimass1  5409  feq1  5467  sbcfg  5483  fvmptssdm  5734  fvimacnvi  5764  nnsucsssuc  6665  ereq1  6714  elpm2r  6840  fipwssg  7183  nnnninf  7330  ctssexmid  7354  rspssp  14532  iscnp  14952  iscnp4  14971  cnntr  14978  cnconst2  14986  cnptopresti  14991  cnptoprest  14992  txbas  15011  txcnp  15024  txdis  15030  txdis1cn  15031  blssps  15180  blss  15181  ssblex  15184  blin2  15185  metss2  15251  metrest  15259  metcnp3  15264  cnopnap  15364  limccl  15412  ellimc3apf  15413  ausgrumgrien  16050  ausgrusgrien  16051  eupth2lem3lem4fi  16353