Theorem sseq1d 3208

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3202	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ⊆ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  sseq12d  3210  eqsstrd  3215  snssgOLD  3754  ssiun2s  3956  treq  4133  onsucsssucexmid  4559  funimass1  5331  feq1  5386  sbcfg  5402  fvmptssdm  5642  fvimacnvi  5672  nnsucsssuc  6545  ereq1  6594  elpm2r  6720  fipwssg  7038  nnnninf  7185  ctssexmid  7209  rspssp  13990  iscnp  14367  iscnp4  14386  cnntr  14393  cnconst2  14401  cnptopresti  14406  cnptoprest  14407  txbas  14426  txcnp  14439  txdis  14445  txdis1cn  14446  blssps  14595  blss  14596  ssblex  14599  blin2  14600  metss2  14666  metrest  14674  metcnp3  14679  cnopnap  14765  limccl  14813  ellimc3apf  14814