Theorem sseq1d 3271

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3265	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  sseq12d  3273  eqsstrd  3278  snssgOLD  3835  ssiun2s  4040  treq  4219  onsucsssucexmid  4654  funimass1  5438  feq1  5496  sbcfg  5512  fvmptssdm  5767  fvimacnvi  5797  nnsucsssuc  6738  ereq1  6787  elpm2r  6913  fipwssg  7279  nnnninf  7430  ctssexmid  7454  rspssp  14771  iscnp  15193  iscnp4  15212  cnntr  15219  cnconst2  15227  cnptopresti  15232  cnptoprest  15233  txbas  15252  txcnp  15265  txdis  15271  txdis1cn  15272  blssps  15421  blss  15422  ssblex  15425  blin2  15426  metss2  15492  metrest  15500  metcnp3  15505  cnopnap  15605  limccl  15653  ellimc3apf  15654  ausgrumgrien  16294  ausgrusgrien  16295  eupth2lem3lem4fi  16597