Theorem sseq1d 3253

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3247	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  sseq12d  3255  eqsstrd  3260  snssgOLD  3804  ssiun2s  4009  treq  4188  onsucsssucexmid  4620  funimass1  5401  feq1  5459  sbcfg  5475  fvmptssdm  5724  fvimacnvi  5754  nnsucsssuc  6651  ereq1  6700  elpm2r  6826  fipwssg  7162  nnnninf  7309  ctssexmid  7333  rspssp  14479  iscnp  14894  iscnp4  14913  cnntr  14920  cnconst2  14928  cnptopresti  14933  cnptoprest  14934  txbas  14953  txcnp  14966  txdis  14972  txdis1cn  14973  blssps  15122  blss  15123  ssblex  15126  blin2  15127  metss2  15193  metrest  15201  metcnp3  15206  cnopnap  15306  limccl  15354  ellimc3apf  15355  ausgrumgrien  15989  ausgrusgrien  15990