Theorem sseq1d 3223

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3217	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ⊆ wss 3167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-in 3173  df-ss 3180

This theorem is referenced by:  sseq12d  3225  eqsstrd  3230  snssgOLD  3771  ssiun2s  3973  treq  4152  onsucsssucexmid  4579  funimass1  5356  feq1  5414  sbcfg  5430  fvmptssdm  5671  fvimacnvi  5701  nnsucsssuc  6585  ereq1  6634  elpm2r  6760  fipwssg  7088  nnnninf  7235  ctssexmid  7259  rspssp  14300  iscnp  14715  iscnp4  14734  cnntr  14741  cnconst2  14749  cnptopresti  14754  cnptoprest  14755  txbas  14774  txcnp  14787  txdis  14793  txdis1cn  14794  blssps  14943  blss  14944  ssblex  14947  blin2  14948  metss2  15014  metrest  15022  metcnp3  15027  cnopnap  15127  limccl  15175  ellimc3apf  15176