Theorem sseq1d 3254

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3248	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  sseq12d  3256  eqsstrd  3261  snssgOLD  3807  ssiun2s  4012  treq  4191  onsucsssucexmid  4623  funimass1  5404  feq1  5462  sbcfg  5478  fvmptssdm  5727  fvimacnvi  5757  nnsucsssuc  6655  ereq1  6704  elpm2r  6830  fipwssg  7172  nnnninf  7319  ctssexmid  7343  rspssp  14501  iscnp  14916  iscnp4  14935  cnntr  14942  cnconst2  14950  cnptopresti  14955  cnptoprest  14956  txbas  14975  txcnp  14988  txdis  14994  txdis1cn  14995  blssps  15144  blss  15145  ssblex  15148  blin2  15149  metss2  15215  metrest  15223  metcnp3  15228  cnopnap  15328  limccl  15376  ellimc3apf  15377  ausgrumgrien  16014  ausgrusgrien  16015