Theorem sseq1d 3277

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3271	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12d  3279  eqsstrd  3284  snssgOLD  3851  ssiun2s  4056  treq  4235  onsucsssucexmid  4674  funimass1  5458  feq1  5516  sbcfg  5532  fvmptssdm  5790  fvimacnvi  5823  nnsucsssuc  6765  ereq1  6814  elpm2r  6940  fipwssg  7313  nnnninf  7466  ctssexmid  7490  rspssp  14833  iscnp  15302  iscnp4  15321  cnntr  15328  cnconst2  15336  cnptopresti  15341  cnptoprest  15342  txbas  15361  txcnp  15374  txdis  15380  txdis1cn  15381  blssps  15530  blss  15531  ssblex  15534  blin2  15535  metss2  15601  metrest  15609  metcnp3  15614  cnopnap  15714  limccl  15762  ellimc3apf  15763  ausgrumgrien  16423  ausgrusgrien  16424  eupth2lem3lem4fi  16726