ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcjbr GIF version

Theorem dvcjbr 14175
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 14176. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvcj.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
dvcj.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcjbr (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variables π‘₯ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 7903 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
21a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3 dvcj.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
4 dvcj.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
5 eqid 2177 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
65tgioo2cntop 14052 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt ℝ)
72, 3, 4, 6, 5dvbssntrcntop 14156 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
8 dvcj.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
97, 8sseldd 3157 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹))
104, 1sstrdi 3168 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
111a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
12 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
13 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
1411, 12, 13dvbss 14157 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
153, 4, 14syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
1615, 8sseldd 3157 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
173, 10, 16dvlemap 14152 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
1817fmpttd 5672 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))):{𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}βŸΆβ„‚)
19 ssidd 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
205cntoptopon 14035 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
2120toponrestid 13524 . . . 4 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt β„‚)
223fdmd 5373 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
2322feq2d 5354 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚))
243, 23mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
2522, 4eqsstrd 3192 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
26 cnex 7935 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ ∈ V
27 reex 7945 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
2826, 27elpm2 6680 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
2924, 25, 28sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
30 dvfpm 14161 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
3231ffund 5370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
33 funfvbrb 5630 . . . . . . . 8 (Fun (ℝ D 𝐹) β†’ (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
3432, 33syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
358, 34mpbid 147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ))
36 eqid 2177 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
376, 5, 36, 2, 3, 4eldvap 14154 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
3835, 37mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
3938simprd 114 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ ((π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
40 cjcncf 14078 . . . . . 6 βˆ— ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
415cncfcn1cntop 14084 . . . . . 6 (ℂ–cnβ†’β„‚) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))
4240, 41eleqtri 2252 . . . . 5 βˆ— ∈ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))
4331, 8ffvelcdmd 5653 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
44 unicntopcntop 14039 . . . . . 6 β„‚ = βˆͺ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
4544cncnpi 13731 . . . . 5 ((βˆ— ∈ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ βˆ— ∈ (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
4642, 43, 45sylancr 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ— ∈ (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
4718, 19, 5, 21, 39, 46limccnpcntop 14147 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
48 cjf 10856 . . . . . . 7 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
4948a1i 9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
5049, 17cofmpt 5686 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))))
513adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
52 elrabi 2891 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5352adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5451, 53ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
553, 16ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
5655adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
5754, 56subcld 8268 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
584sselda 3156 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5952, 58sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
604, 16sseldd 3157 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6160adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6259, 61resubcld 8338 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
6362recnd 7986 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
6459recnd 7986 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6561recnd 7986 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
66 breq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 # 𝐢 ↔ π‘₯ # 𝐢))
6766elrab 2894 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ # 𝐢))
6867simprbi 275 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} β†’ π‘₯ # 𝐢)
6968adantl 277 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ π‘₯ # 𝐢)
7064, 65, 69subap0d 8601 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) # 0)
7157, 63, 70cjdivapd 10977 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) / (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
72 cjsub 10901 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
7354, 56, 72syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
74 fvco3 5588 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
753, 52, 74syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
76 fvco3 5588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
773, 16, 76syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
7877adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
7975, 78oveq12d 5893 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) = ((βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) βˆ’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
8073, 79eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) = (((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)))
8162cjred 10980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) = (π‘₯ βˆ’ 𝐢))
8280, 81oveq12d 5893 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ ((βˆ—β€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) / (βˆ—β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
8371, 82eqtrd 2210 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢}) β†’ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
8483mpteq2dva 4094 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (βˆ—β€˜(((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
8550, 84eqtrd 2210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) = (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
8685oveq1d 5890 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ— ∘ (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢) = ((π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
8747, 86eleqtrd 2256 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
88 eqid 2177 . . 3 (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
89 fco 5382 . . . 4 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
9048, 3, 89sylancr 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
916, 5, 88, 2, 90, 4eldvap 14154 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘‹) ∧ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ ((π‘₯ ∈ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ 𝑀 # 𝐢} ↦ ((((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((βˆ— ∘ 𝐹)β€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
929, 87, 91mpbir2and 944 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   βŠ† wss 3130   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  dom cdm 4627  ran crn 4628   ∘ ccom 4631  Fun wfun 5211  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ↑pm cpm 6649  β„‚cc 7809  β„cr 7810   βˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  (,)cioo 9888  βˆ—ccj 10848  abscabs 11006  topGenctg 12703  MetOpencmopn 13448  intcnt 13596   Cn ccn 13688   CnP ccnp 13689  β€“cnβ†’ccncf 14060   limβ„‚ climc 14126   D cdv 14127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  dvcj  14176
  Copyright terms: Public domain W3C validator