Theorem dvcjbr 15858

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 15859. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcj.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcjbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 8271	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		dvcj.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
4		dvcj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	tgioo2cntop 15707	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
7	2, 3, 4, 6, 5	dvbssntrcntop 15834	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8		dvcj.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9	7, 8	sseldd 3249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
10	4, 1	sstrdi 3260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
11	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	dvbss 15835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
15	3, 4, 14	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
16	15, 8	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17	3, 10, 16	dvlemap 15830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 5863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))):{𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}⟶ℂ)
19		ssidd 3269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	5	cntoptopon 15682	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	toponrestid 15171	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
22	3	fdmd 5540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	feq2d 5521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℂ))
24	3, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
25	22, 4	eqsstrd 3284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
26		cnex 8303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
27		reex 8313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
28	26, 27	elpm2 6961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
29	24, 25, 28	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30		dvfpm 15839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
32	31	ffund 5537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
33		funfvbrb 5822	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
35	8, 34	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
36		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
37	6, 5, 36, 2, 3, 4	eldvap 15832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
39	38	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
40		cjcncf 15738	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
41	5	cncfcn1cntop 15744	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
42	40, 41	eleqtri 2313	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
43	31, 8	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
44		unicntopcntop 15692	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
45	44	cncnpi 15378	. . . . 5 ⊢ ((∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
46	42, 43, 45	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
47	18, 19, 5, 21, 39, 46	limccnpcntop 15825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
48		cjf 11626	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
50	49, 17	cofmpt 5877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))))
51	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
52		elrabi 2979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝑋)
54	51, 53	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
55	3, 16	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
56	55	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 8638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	4	sselda 3248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	52, 58	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℝ)
60	4, 16	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	59, 61	resubcld 8709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℝ)
63	62	recnd 8354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
64	59	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℂ)
65	61	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
66		breq1 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑥 # 𝐶))
67	66	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 # 𝐶))
68	67	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 # 𝐶)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 # 𝐶)
70	64, 65, 69	subap0d 8974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) # 0)
71	57, 63, 70	cjdivapd 11748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))))
72		cjsub 11671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
73	54, 56, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
74		fvco3 5776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
75	3, 52, 74	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
76		fvco3 5776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
77	3, 16, 76	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
79	75, 78	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
80	73, 79	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
81	62	cjred 11751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(𝑥 − 𝐶)) = (𝑥 − 𝐶))
82	80, 81	oveq12d 6103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
83	71, 82	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
84	83	mpteq2dva 4221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
85	50, 84	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
86	85	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶) = ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
87	47, 86	eleqtrd 2317	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
88		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
89		fco 5552	. . . 4 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
90	48, 3, 89	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
91	6, 5, 88, 2, 90, 4	eldvap 15832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
92	9, 87, 91	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  dom cdm 4774  ran crn 4775   ∘ ccom 4778  Fun wfun 5371  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ↑_pm cpm 6923  ℂcc 8177  ℝcr 8178   − cmin 8498   # cap 8911   / cdiv 9004  (,)cioo 10300  ∗ccj 11618  abscabs 11777  topGenctg 13657  MetOpencmopn 14927  intcnt 15243   Cn ccn 15335   CnP ccnp 15336  –cn→ccncf 15720   lim_ℂ climc 15804   D cdv 15805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-xneg 10184  df-xadd 10185  df-ioo 10304  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-rest 13644  df-topgen 13663  df-psmet 14929  df-xmet 14930  df-met 14931  df-bl 14932  df-mopn 14933  df-top 15148  df-topon 15161  df-bases 15193  df-ntr 15246  df-cn 15338  df-cnp 15339  df-cncf 15721  df-limced 15806  df-dvap 15807

This theorem is used by:  dvcj  15859