ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcjbr GIF version

Theorem dvcjbr 12851
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 12852. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c (𝜑𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcjbr (𝜑𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 7719 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
21a1i 9 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3 dvcj.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
4 dvcj.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
5 eqid 2139 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65tgioo2cntop 12728 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
72, 3, 4, 6, 5dvbssntrcntop 12832 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8 dvcj.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
97, 8sseldd 3098 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
104, 1sstrdi 3109 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
111a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12 simpl 108 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
1411, 12, 13dvbss 12833 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
153, 4, 14syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1615, 8sseldd 3098 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
173, 10, 16dvlemap 12828 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
1817fmpttd 5575 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))):{𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}⟶ℂ)
19 ssidd 3118 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
205cntoptopon 12711 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
2120toponrestid 12198 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
223fdmd 5279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
2322feq2d 5260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℂ))
243, 23mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2522, 4eqsstrd 3133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
26 cnex 7751 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
27 reex 7761 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
2826, 27elpm2 6574 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
2924, 25, 28sylanbrc 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30 dvfpm 12837 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
3231ffund 5276 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
33 funfvbrb 5533 . . . . . . . 8 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
3432, 33syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
358, 34mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
36 eqid 2139 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))
376, 5, 36, 2, 3, 4eldvap 12830 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))))
3835, 37mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶)))
3938simprd 113 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
40 cjcncf 12754 . . . . . 6 ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
415cncfcn1cntop 12760 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
4240, 41eleqtri 2214 . . . . 5 ∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
4331, 8ffvelrnd 5556 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
44 unicntopcntop 12715 . . . . . 6 ℂ = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4544cncnpi 12407 . . . . 5 ((∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
4642, 43, 45sylancr 410 . . . 4 (𝜑 → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
4718, 19, 5, 21, 39, 46limccnpcntop 12823 . . 3 (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) lim 𝐶))
48 cjf 10626 . . . . . . 7 ∗:ℂ⟶ℂ
4948a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
5049, 17cofmpt 5589 . . . . 5 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))))
513adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
52 elrabi 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑥𝑋)
5352adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑥𝑋)
5451, 53ffvelrnd 5556 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
553, 16ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5655adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5754, 56subcld 8080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
584sselda 3097 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
5952, 58sylan2 284 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℝ)
604, 16sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6160adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
6259, 61resubcld 8150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑥𝐶) ∈ ℝ)
6362recnd 7801 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
6459recnd 7801 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℂ)
6561recnd 7801 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
66 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐶𝑥 # 𝐶))
6766elrab 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑥𝑋𝑥 # 𝐶))
6867simprbi 273 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑥 # 𝐶)
6968adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 # 𝐶)
7064, 65, 69subap0d 8413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑥𝐶) # 0)
7157, 63, 70cjdivapd 10747 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = ((∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) / (∗‘(𝑥𝐶))))
72 cjsub 10671 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
7354, 56, 72syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
74 fvco3 5492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹𝑥)))
753, 52, 74syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹𝑥)))
76 fvco3 5492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
773, 16, 76syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
7877adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
7975, 78oveq12d 5792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
8073, 79eqtr4d 2175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
8162cjred 10750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(𝑥𝐶)) = (𝑥𝐶))
8280, 81oveq12d 5792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) / (∗‘(𝑥𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
8371, 82eqtrd 2172 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
8483mpteq2dva 4018 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))))
8550, 84eqtrd 2172 . . . 4 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))))
8685oveq1d 5789 . . 3 (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
8747, 86eleqtrd 2218 . 2 (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
88 eqid 2139 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
89 fco 5288 . . . 4 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
9048, 3, 89sylancr 410 . . 3 (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
916, 5, 88, 2, 90, 4eldvap 12830 . 2 (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))))
929, 87, 91mpbir2and 928 1 (𝜑𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  {crab 2420  wss 3071   class class class wbr 3929  cmpt 3989  dom cdm 4539  ran crn 4540  ccom 4543  Fun wfun 5117  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  pm cpm 6543  cc 7625  cr 7626  cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  (,)cioo 9678  ccj 10618  abscabs 10776  topGenctg 12145  MetOpencmopn 12164  intcnt 12272   Cn ccn 12364   CnP ccnp 12365  cnccncf 12736   lim climc 12802   D cdv 12803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by:  dvcj  12852
  Copyright terms: Public domain W3C validator