Theorem dvcjbr 15573

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 15574. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcj.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcjbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 8219	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		dvcj.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
4		dvcj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	tgioo2cntop 15422	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
7	2, 3, 4, 6, 5	dvbssntrcntop 15549	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8		dvcj.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9	7, 8	sseldd 3239	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
10	4, 1	sstrdi 3250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
11	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	dvbss 15550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
16	15, 8	sseldd 3239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17	3, 10, 16	dvlemap 15545	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 5832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))):{𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}⟶ℂ)
19		ssidd 3259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	5	cntoptopon 15397	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	toponrestid 14886	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
22	3	fdmd 5515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	feq2d 5496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℂ))
24	3, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
25	22, 4	eqsstrd 3274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
26		cnex 8251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
27		reex 8261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
28	26, 27	elpm2 6914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
29	24, 25, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30		dvfpm 15554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
32	31	ffund 5512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
33		funfvbrb 5791	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
35	8, 34	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
36		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
37	6, 5, 36, 2, 3, 4	eldvap 15547	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
39	38	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
40		cjcncf 15453	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
41	5	cncfcn1cntop 15459	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
42	40, 41	eleqtri 2307	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
43	31, 8	ffvelcdmd 5813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
44		unicntopcntop 15407	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
45	44	cncnpi 15093	. . . . 5 ⊢ ((∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
46	42, 43, 45	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
47	18, 19, 5, 21, 39, 46	limccnpcntop 15540	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
48		cjf 11532	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
50	49, 17	cofmpt 5846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))))
51	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
52		elrabi 2970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝑋)
54	51, 53	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
55	3, 16	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
56	55	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 8584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	4	sselda 3238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	52, 58	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℝ)
60	4, 16	sseldd 3239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	59, 61	resubcld 8654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℝ)
63	62	recnd 8302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
64	59	recnd 8302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℂ)
65	61	recnd 8302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
66		breq1 4112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑥 # 𝐶))
67	66	elrab 2973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 # 𝐶))
68	67	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 # 𝐶)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 # 𝐶)
70	64, 65, 69	subap0d 8918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) # 0)
71	57, 63, 70	cjdivapd 11653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))))
72		cjsub 11577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
73	54, 56, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
74		fvco3 5748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
75	3, 52, 74	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
76		fvco3 5748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
77	3, 16, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
79	75, 78	oveq12d 6068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
80	73, 79	eqtr4d 2268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
81	62	cjred 11656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(𝑥 − 𝐶)) = (𝑥 − 𝐶))
82	80, 81	oveq12d 6068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
83	71, 82	eqtrd 2265	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
84	83	mpteq2dva 4200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
85	50, 84	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
86	85	oveq1d 6065	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶) = ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
87	47, 86	eleqtrd 2311	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
88		eqid 2232	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
89		fco 5527	. . . 4 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
90	48, 3, 89	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
91	6, 5, 88, 2, 90, 4	eldvap 15547	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
92	9, 87, 91	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  dom cdm 4749  ran crn 4750   ∘ ccom 4753  Fun wfun 5346  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ↑_pm cpm 6883  ℂcc 8125  ℝcr 8126   − cmin 8444   # cap 8855   / cdiv 8946  (,)cioo 10221  ∗ccj 11524  abscabs 11682  topGenctg 13467  MetOpencmopn 14689  intcnt 14958   Cn ccn 15050   CnP ccnp 15051  –cn→ccncf 15435   lim_ℂ climc 15519   D cdv 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-pm 6885  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-ioo 10225  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-ntr 14961  df-cn 15053  df-cnp 15054  df-cncf 15436  df-limced 15521  df-dvap 15522

This theorem is referenced by:  dvcj  15574