Theorem dvcjbr 12880

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 12881. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcj.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcjbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 7736	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		dvcj.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
4		dvcj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5		eqid 2140	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	tgioo2cntop 12757	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
7	2, 3, 4, 6, 5	dvbssntrcntop 12861	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8		dvcj.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9	7, 8	sseldd 3103	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
10	4, 1	sstrdi 3114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
11	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	dvbss 12862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
15	3, 4, 14	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
16	15, 8	sseldd 3103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17	3, 10, 16	dvlemap 12857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 5583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))):{𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}⟶ℂ)
19		ssidd 3123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	5	cntoptopon 12740	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	toponrestid 12227	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
22	3	fdmd 5287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	feq2d 5268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℂ))
24	3, 23	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
25	22, 4	eqsstrd 3138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
26		cnex 7768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
27		reex 7778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
28	26, 27	elpm2 6582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
29	24, 25, 28	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30		dvfpm 12866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
32	31	ffund 5284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
33		funfvbrb 5541	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
35	8, 34	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
36		eqid 2140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
37	6, 5, 36, 2, 3, 4	eldvap 12859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
38	35, 37	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
39	38	simprd 113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
40		cjcncf 12783	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
41	5	cncfcn1cntop 12789	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
42	40, 41	eleqtri 2215	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
43	31, 8	ffvelrnd 5564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
44		unicntopcntop 12744	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
45	44	cncnpi 12436	. . . . 5 ⊢ ((∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
46	42, 43, 45	sylancr 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
47	18, 19, 5, 21, 39, 46	limccnpcntop 12852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
48		cjf 10651	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
50	49, 17	cofmpt 5597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))))
51	3	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
52		elrabi 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	52	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝑋)
54	51, 53	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
55	3, 16	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
56	55	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 8097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	4	sselda 3102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	52, 58	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℝ)
60	4, 16	sseldd 3103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	59, 61	resubcld 8167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℝ)
63	62	recnd 7818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
64	59	recnd 7818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℂ)
65	61	recnd 7818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
66		breq1 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑥 # 𝐶))
67	66	elrab 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 # 𝐶))
68	67	simprbi 273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 # 𝐶)
69	68	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 # 𝐶)
70	64, 65, 69	subap0d 8430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) # 0)
71	57, 63, 70	cjdivapd 10772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))))
72		cjsub 10696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
73	54, 56, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
74		fvco3 5500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
75	3, 52, 74	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
76		fvco3 5500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
77	3, 16, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
78	77	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
79	75, 78	oveq12d 5800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
80	73, 79	eqtr4d 2176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
81	62	cjred 10775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(𝑥 − 𝐶)) = (𝑥 − 𝐶))
82	80, 81	oveq12d 5800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
83	71, 82	eqtrd 2173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
84	83	mpteq2dva 4026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
85	50, 84	eqtrd 2173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
86	85	oveq1d 5797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶) = ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
87	47, 86	eleqtrd 2219	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
88		eqid 2140	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
89		fco 5296	. . . 4 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
90	48, 3, 89	sylancr 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
91	6, 5, 88, 2, 90, 4	eldvap 12859	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
92	9, 87, 91	mpbir2and 929	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {crab 2421   ⊆ wss 3076   class class class wbr 3937   ↦ cmpt 3997  dom cdm 4547  ran crn 4548   ∘ ccom 4551  Fun wfun 5125  ⟶wf 5127  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782   ↑_pm cpm 6551  ℂcc 7642  ℝcr 7643   − cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456  (,)cioo 9701  ∗ccj 10643  abscabs 10801  topGenctg 12174  MetOpencmopn 12193  intcnt 12301   Cn ccn 12393   CnP ccnp 12394  –cn→ccncf 12765   lim_ℂ climc 12831   D cdv 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-pm 6553  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by:  dvcj  12881