Theorem dvcjbr 13954

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 13955. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcj.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcjbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 7898	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		dvcj.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
4		dvcj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	tgioo2cntop 13831	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
7	2, 3, 4, 6, 5	dvbssntrcntop 13935	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8		dvcj.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9	7, 8	sseldd 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
10	4, 1	sstrdi 3167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
11	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	dvbss 13936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
16	15, 8	sseldd 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17	3, 10, 16	dvlemap 13931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 5668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))):{𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}⟶ℂ)
19		ssidd 3176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	5	cntoptopon 13814	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	toponrestid 13301	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
22	3	fdmd 5369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	feq2d 5350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℂ))
24	3, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
25	22, 4	eqsstrd 3191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
26		cnex 7930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
27		reex 7940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
28	26, 27	elpm2 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
29	24, 25, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30		dvfpm 13940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
32	31	ffund 5366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
33		funfvbrb 5626	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
35	8, 34	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
36		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
37	6, 5, 36, 2, 3, 4	eldvap 13933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
39	38	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
40		cjcncf 13857	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
41	5	cncfcn1cntop 13863	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
42	40, 41	eleqtri 2252	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
43	31, 8	ffvelcdmd 5649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
44		unicntopcntop 13818	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
45	44	cncnpi 13510	. . . . 5 ⊢ ((∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
46	42, 43, 45	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
47	18, 19, 5, 21, 39, 46	limccnpcntop 13926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
48		cjf 10847	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
50	49, 17	cofmpt 5682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))))
51	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
52		elrabi 2890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝑋)
54	51, 53	ffvelcdmd 5649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
55	3, 16	ffvelcdmd 5649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
56	55	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 8262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	4	sselda 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	52, 58	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℝ)
60	4, 16	sseldd 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	59, 61	resubcld 8332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℝ)
63	62	recnd 7980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
64	59	recnd 7980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℂ)
65	61	recnd 7980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
66		breq1 4004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑥 # 𝐶))
67	66	elrab 2893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 # 𝐶))
68	67	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 # 𝐶)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 # 𝐶)
70	64, 65, 69	subap0d 8595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) # 0)
71	57, 63, 70	cjdivapd 10968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))))
72		cjsub 10892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
73	54, 56, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
74		fvco3 5584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
75	3, 52, 74	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
76		fvco3 5584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
77	3, 16, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
79	75, 78	oveq12d 5888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
80	73, 79	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
81	62	cjred 10971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(𝑥 − 𝐶)) = (𝑥 − 𝐶))
82	80, 81	oveq12d 5888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
83	71, 82	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
84	83	mpteq2dva 4091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
85	50, 84	eqtrd 2210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
86	85	oveq1d 5885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶) = ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
87	47, 86	eleqtrd 2256	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
88		eqid 2177	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
89		fco 5378	. . . 4 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
90	48, 3, 89	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
91	6, 5, 88, 2, 90, 4	eldvap 13933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
92	9, 87, 91	mpbir2and 944	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4001   ↦ cmpt 4062  dom cdm 4624  ran crn 4625   ∘ ccom 4628  Fun wfun 5207  ⟶wf 5209  ‘cfv 5213  (class class class)co 5870   ↑_pm cpm 6644  ℂcc 7804  ℝcr 7805   − cmin 8122   # cap 8532   / cdiv 8623  (,)cioo 9882  ∗ccj 10839  abscabs 10997  topGenctg 12689  MetOpencmopn 13250  intcnt 13375   Cn ccn 13467   CnP ccnp 13468  –cn→ccncf 13839   lim_ℂ climc 13905   D cdv 13906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925  ax-caucvg 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-isom 5222  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-frec 6387  df-map 6645  df-pm 6646  df-sup 6978  df-inf 6979  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-q 9614  df-rp 9648  df-xneg 9766  df-xadd 9767  df-ioo 9886  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-cj 10842  df-re 10843  df-im 10844  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-rest 12676  df-topgen 12695  df-psmet 13252  df-xmet 13253  df-met 13254  df-bl 13255  df-mopn 13256  df-top 13278  df-topon 13291  df-bases 13323  df-ntr 13378  df-cn 13470  df-cnp 13471  df-cncf 13840  df-limced 13907  df-dvap 13908

This theorem is referenced by:  dvcj  13955