Theorem dvcjbr 15180

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 15181. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcj.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcjbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 8017	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		dvcj.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
4		dvcj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	5	tgioo2cntop 15029	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
7	2, 3, 4, 6, 5	dvbssntrcntop 15156	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8		dvcj.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
9	7, 8	sseldd 3194	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
10	4, 1	sstrdi 3205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
11	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	dvbss 15157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
15	3, 4, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
16	15, 8	sseldd 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17	3, 10, 16	dvlemap 15152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
18	17	fmpttd 5735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))):{𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}⟶ℂ)
19		ssidd 3214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	5	cntoptopon 15004	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
21	20	toponrestid 14493	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
22	3	fdmd 5432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	feq2d 5413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℂ))
24	3, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
25	22, 4	eqsstrd 3229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
26		cnex 8049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
27		reex 8059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
28	26, 27	elpm2 6767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
29	24, 25, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30		dvfpm 15161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
32	31	ffund 5429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
33		funfvbrb 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
35	8, 34	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
36		eqid 2205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
37	6, 5, 36, 2, 3, 4	eldvap 15154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
39	38	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
40		cjcncf 15060	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
41	5	cncfcn1cntop 15066	. . . . . 6 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
42	40, 41	eleqtri 2280	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
43	31, 8	ffvelcdmd 5716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
44		unicntopcntop 15014	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
45	44	cncnpi 14700	. . . . 5 ⊢ ((∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
46	42, 43, 45	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
47	18, 19, 5, 21, 39, 46	limccnpcntop 15147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
48		cjf 11158	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
49	48	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
50	49, 17	cofmpt 5749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))))
51	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
52		elrabi 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝑋)
54	51, 53	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
55	3, 16	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
56	55	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
57	54, 56	subcld 8383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	4	sselda 3193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
59	52, 58	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℝ)
60	4, 16	sseldd 3194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	59, 61	resubcld 8453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℝ)
63	62	recnd 8101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
64	59	recnd 8101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℂ)
65	61	recnd 8101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
66		breq1 4047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑥 # 𝐶))
67	66	elrab 2929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 # 𝐶))
68	67	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑥 # 𝐶)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 # 𝐶)
70	64, 65, 69	subap0d 8717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑥 − 𝐶) # 0)
71	57, 63, 70	cjdivapd 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))))
72		cjsub 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
73	54, 56, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
74		fvco3 5650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
75	3, 52, 74	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
76		fvco3 5650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
77	3, 16, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹‘𝐶)))
79	75, 78	oveq12d 5962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹‘𝑥)) − (∗‘(𝐹‘𝐶))))
80	73, 79	eqtr4d 2241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
81	62	cjred 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(𝑥 − 𝐶)) = (𝑥 − 𝐶))
82	80, 81	oveq12d 5962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((∗‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶))) / (∗‘(𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
83	71, 82	eqtrd 2238	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
84	83	mpteq2dva 4134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
85	50, 84	eqtrd 2238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))))
86	85	oveq1d 5959	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))) limℂ 𝐶) = ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
87	47, 86	eleqtrd 2284	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
88		eqid 2205	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶)))
89		fco 5441	. . . 4 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
90	48, 3, 89	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
91	6, 5, 88, 2, 90, 4	eldvap 15154	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
92	9, 87, 91	mpbir2and 947	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  {crab 2488   ⊆ wss 3166   class class class wbr 4044   ↦ cmpt 4105  dom cdm 4675  ran crn 4676   ∘ ccom 4679  Fun wfun 5265  ⟶wf 5267  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944   ↑_pm cpm 6736  ℂcc 7923  ℝcr 7924   − cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745  (,)cioo 10010  ∗ccj 11150  abscabs 11308  topGenctg 13086  MetOpencmopn 14303  intcnt 14565   Cn ccn 14657   CnP ccnp 14658  –cn→ccncf 15042   lim_ℂ climc 15126   D cdv 15127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-map 6737  df-pm 6738  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-xneg 9894  df-xadd 9895  df-ioo 10014  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-rest 13073  df-topgen 13092  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-met 14307  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-top 14470  df-topon 14483  df-bases 14515  df-ntr 14568  df-cn 14660  df-cnp 14661  df-cncf 15043  df-limced 15128  df-dvap 15129

This theorem is referenced by:  dvcj  15181