Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvcjbr GIF version

Theorem dvcjbr 12851
 Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (simpler but more limited) function version, see dvcj 12852. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcj.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcj.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvcj.c (𝜑𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcjbr (𝜑𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcjbr
Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 7719 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
21a1i 9 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3 dvcj.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
4 dvcj.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
5 eqid 2139 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65tgioo2cntop 12728 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
72, 3, 4, 6, 5dvbssntrcntop 12832 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
8 dvcj.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
97, 8sseldd 3098 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
104, 1sstrdi 3109 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
111a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
12 simpl 108 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
13 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
1411, 12, 13dvbss 12833 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
153, 4, 14syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1615, 8sseldd 3098 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
173, 10, 16dvlemap 12828 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
1817fmpttd 5575 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))):{𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}⟶ℂ)
19 ssidd 3118 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
205cntoptopon 12711 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
2120toponrestid 12198 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
223fdmd 5279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
2322feq2d 5260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℂ))
243, 23mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2522, 4eqsstrd 3133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
26 cnex 7751 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
27 reex 7761 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
2826, 27elpm2 6574 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
2924, 25, 28sylanbrc 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
30 dvfpm 12837 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
3231ffund 5276 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
33 funfvbrb 5533 . . . . . . . 8 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
3432, 33syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
358, 34mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶))
36 eqid 2139 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))
376, 5, 36, 2, 3, 4eldvap 12830 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))))
3835, 37mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶)))
3938simprd 113 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
40 cjcncf 12754 . . . . . 6 ∗ ∈ (ℂ–cn→ℂ)
415cncfcn1cntop 12760 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
4240, 41eleqtri 2214 . . . . 5 ∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))
4331, 8ffvelrnd 5556 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
44 unicntopcntop 12715 . . . . . 6 ℂ = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4544cncnpi 12407 . . . . 5 ((∗ ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ) → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
4642, 43, 45sylancr 410 . . . 4 (𝜑 → ∗ ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
4718, 19, 5, 21, 39, 46limccnpcntop 12823 . . 3 (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) lim 𝐶))
48 cjf 10626 . . . . . . 7 ∗:ℂ⟶ℂ
4948a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
5049, 17cofmpt 5589 . . . . 5 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))))
513adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
52 elrabi 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑥𝑋)
5352adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑥𝑋)
5451, 53ffvelrnd 5556 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
553, 16ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5655adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5754, 56subcld 8080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
584sselda 3097 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
5952, 58sylan2 284 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℝ)
604, 16sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6160adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
6259, 61resubcld 8150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑥𝐶) ∈ ℝ)
6362recnd 7801 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
6459recnd 7801 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 ∈ ℂ)
6561recnd 7801 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
66 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐶𝑥 # 𝐶))
6766elrab 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑥𝑋𝑥 # 𝐶))
6867simprbi 273 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑥 # 𝐶)
6968adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑥 # 𝐶)
7064, 65, 69subap0d 8413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑥𝐶) # 0)
7157, 63, 70cjdivapd 10747 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = ((∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) / (∗‘(𝑥𝐶))))
72 cjsub 10671 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
7354, 56, 72syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
74 fvco3 5492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹𝑥)))
753, 52, 74syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) = (∗‘(𝐹𝑥)))
76 fvco3 5492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐶𝑋) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
773, 16, 76syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
7877adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶) = (∗‘(𝐹𝐶)))
7975, 78oveq12d 5792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) = ((∗‘(𝐹𝑥)) − (∗‘(𝐹𝐶))))
8073, 79eqtr4d 2175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) = (((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)))
8162cjred 10750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(𝑥𝐶)) = (𝑥𝐶))
8280, 81oveq12d 5792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((∗‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶))) / (∗‘(𝑥𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
8371, 82eqtrd 2172 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶))) = ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
8483mpteq2dva 4018 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (∗‘(((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))))
8550, 84eqtrd 2172 . . . 4 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))))
8685oveq1d 5789 . . 3 (𝜑 → ((∗ ∘ (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐶)) / (𝑥𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
8747, 86eleqtrd 2218 . 2 (𝜑 → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))
88 eqid 2139 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) = (𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶)))
89 fco 5288 . . . 4 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
9048, 3, 89sylancr 410 . . 3 (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
916, 5, 88, 2, 90, 4eldvap 12830 . 2 (𝜑 → (𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ∧ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑥 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((∗ ∘ 𝐹)‘𝑥) − ((∗ ∘ 𝐹)‘𝐶)) / (𝑥𝐶))) lim 𝐶))))
929, 87, 91mpbir2and 928 1 (𝜑𝐶(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2420   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  dom cdm 4539  ran crn 4540   ∘ ccom 4543  Fun wfun 5117  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ↑pm cpm 6543  ℂcc 7625  ℝcr 7626   − cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  (,)cioo 9678  ∗ccj 10618  abscabs 10776  topGenctg 12145  MetOpencmopn 12164  intcnt 12272   Cn ccn 12364   CnP ccnp 12365  –cn→ccncf 12736   limℂ climc 12802   D cdv 12803 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805 This theorem is referenced by:  dvcj  12852
 Copyright terms: Public domain W3C validator