ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfre GIF version
Theorem dvfre 14177
Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvfre ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
Proof of Theorem dvfre
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 7903 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
2 fss 5378 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
31, 2mpan2 425 . . . . . 6 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
43adantr 276 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 ffdm 5387 . . . . . 6 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝐴))
65simpld 112 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
74, 6syl 14 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
8 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
98fdmd 5373 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
10 simpr 110 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
119, 10eqsstrd 3192 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
12 cnex 7935 . . . . 5 β„‚ ∈ V
13 reex 7945 . . . . 5 ℝ ∈ V
1412, 13elpm2 6680 . . . 4 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
157, 11, 14sylanbrc 417 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
16 dvfpm 14161 . . 3 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
17 ffn 5366 . . 3 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
1815, 16, 173syl 17 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
1915, 16syl 14 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
2019ffvelcdmda 5652 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
21 fvco3 5588 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
2219, 21sylan 283 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
23 dvcj 14176 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
243, 23sylan 283 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
25 ffvelcdm 5650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2625adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
2726cjred 10980 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
2827mpteq2dva 4094 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
2926recnd 7986 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
308feqmptd 5570 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
31 cjf 10856 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
3231a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
3332feqmptd 5570 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ— = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘§)))
34 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3529, 30, 33, 34fmptco 5683 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
3628, 35, 303eqtr4d 2220 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = 𝐹)
3736oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
3824, 37eqtr3d 2212 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
3938fveq1d 5518 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
4039adantr 276 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
4122, 40eqtr3d 2212 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
4220, 41cjrebd 10955 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4342ralrimiva 2550 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
44 ffnfv 5675 . 2 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
4518, 43, 44sylanbrc 417 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3130   ↦ cmpt 4065  dom cdm 4627   ∘ ccom 4631   Fn wfn 5212  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ↑pm cpm 6649  β„‚cc 7809  β„cr 7810  βˆ—ccj 10848   D cdv 14127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator