Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfre GIF version

Theorem dvfre 12832
 Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvfre ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)

Proof of Theorem dvfre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 7705 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2 fss 5279 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
31, 2mpan2 421 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
43adantr 274 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 ffdm 5288 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝐴))
65simpld 111 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
74, 6syl 14 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
8 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
98fdmd 5274 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
10 simpr 109 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
119, 10eqsstrd 3128 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
12 cnex 7737 . . . . 5 ℂ ∈ V
13 reex 7747 . . . . 5 ℝ ∈ V
1412, 13elpm2 6567 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
157, 11, 14sylanbrc 413 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
16 dvfpm 12816 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
17 ffn 5267 . . 3 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
1815, 16, 173syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
1915, 16syl 14 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
2019ffvelrnda 5548 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
21 fvco3 5485 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
2219, 21sylan 281 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
23 dvcj 12831 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
243, 23sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
25 ffvelrn 5546 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
2625adantlr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
2726cjred 10736 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∗‘(𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
2827mpteq2dva 4013 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴 ↦ (∗‘(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
2926recnd 7787 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
308feqmptd 5467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
31 cjf 10612 . . . . . . . . . . . . 13 ∗:ℂ⟶ℂ
3231a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
3332feqmptd 5467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
34 fveq2 5414 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑦) → (∗‘𝑧) = (∗‘(𝐹𝑦)))
3529, 30, 33, 34fmptco 5579 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑦𝐴 ↦ (∗‘(𝐹𝑦))))
3628, 35, 303eqtr4d 2180 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = 𝐹)
3736oveq2d 5783 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
3824, 37eqtr3d 2172 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
3938fveq1d 5416 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
4039adantr 274 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
4122, 40eqtr3d 2172 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
4220, 41cjrebd 10711 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
4342ralrimiva 2503 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
44 ffnfv 5571 . 2 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ))
4518, 43, 44sylanbrc 413 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414   ⊆ wss 3066   ↦ cmpt 3984  dom cdm 4534   ∘ ccom 4538   Fn wfn 5113  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767   ↑pm cpm 6536  ℂcc 7611  ℝcr 7612  ∗ccj 10604   D cdv 12782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-pm 6538  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-xadd 9553  df-ioo 9668  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-rest 12111  df-topgen 12130  df-psmet 12145  df-xmet 12146  df-met 12147  df-bl 12148  df-mopn 12149  df-top 12154  df-topon 12167  df-bases 12199  df-ntr 12254  df-cn 12346  df-cnp 12347  df-cncf 12716  df-limced 12783  df-dvap 12784 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator