ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  euind GIF version

Theorem euind 2800
Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 11-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
euind.1 𝐵 ∈ V
euind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
euind.3 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
euind ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑧,𝜓   𝑦,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem euind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 euind.2 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
21cbvexv 1843 . . . . 5 (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑦𝜓)
3 euind.1 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
43isseti 2627 . . . . . . . 8 𝑧 𝑧 = 𝐵
54biantrur 297 . . . . . . 7 (𝜓 ↔ (∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
65exbii 1541 . . . . . 6 (∃𝑦𝜓 ↔ ∃𝑦(∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
7 19.41v 1830 . . . . . . 7 (∃𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ (∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
87exbii 1541 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
9 excom 1599 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
106, 8, 93bitr2i 206 . . . . 5 (∃𝑦𝜓 ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
112, 10bitri 182 . . . 4 (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
12 eqeq2 2097 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵))
1312imim2i 12 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)))
14 bi2 128 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴))
1514imim2i 12 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)) → ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)))
16 an31 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑))
1716imbi1i 236 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
18 impexp 259 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)))
19 impexp 259 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2017, 18, 193bitr3i 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2115, 20sylib 120 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2213, 21syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
23222alimi 1390 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
24 19.23v 1811 . . . . . . . 8 (∀𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2524albii 1404 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥(∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
26 19.21v 1801 . . . . . . 7 (∀𝑥(∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2725, 26bitri 182 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2823, 27sylib 120 . . . . 5 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2928eximdv 1808 . . . 4 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
3011, 29syl5bi 150 . . 3 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
3130imp 122 . 2 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
32 pm4.24 387 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (𝜑𝜑))
3332biimpi 118 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑𝜑))
34 prth 336 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ (𝜑𝑤 = 𝐴)) → ((𝜑𝜑) → (𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴)))
35 eqtr3 2107 . . . . . . 7 ((𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴) → 𝑧 = 𝑤)
3633, 34, 35syl56 34 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ (𝜑𝑤 = 𝐴)) → (𝜑𝑧 = 𝑤))
3736alanimi 1393 . . . . 5 ((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤))
38 19.23v 1811 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) ↔ (∃𝑥𝜑𝑧 = 𝑤))
3938biimpi 118 . . . . . 6 (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) → (∃𝑥𝜑𝑧 = 𝑤))
4039com12 30 . . . . 5 (∃𝑥𝜑 → (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
4137, 40syl5 32 . . . 4 (∃𝑥𝜑 → ((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
4241alrimivv 1803 . . 3 (∃𝑥𝜑 → ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
4342adantl 271 . 2 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
44 eqeq1 2094 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴))
4544imbi2d 228 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → ((𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ (𝜑𝑤 = 𝐴)))
4645albidv 1752 . . 3 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)))
4746eu4 2010 . 2 (∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ (∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
4831, 43, 47sylanbrc 408 1 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1287   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  ∃!weu 1948  Vcvv 2619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-v 2621
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator