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Theorem euind 2842
Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 11-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
euind.1 𝐵 ∈ V
euind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
euind.3 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
euind ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑧,𝜓   𝑦,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem euind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 euind.2 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
21cbvexv 1870 . . . . 5 (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑦𝜓)
3 euind.1 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
43isseti 2666 . . . . . . . 8 𝑧 𝑧 = 𝐵
54biantrur 299 . . . . . . 7 (𝜓 ↔ (∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
65exbii 1567 . . . . . 6 (∃𝑦𝜓 ↔ ∃𝑦(∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
7 19.41v 1856 . . . . . . 7 (∃𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ (∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
87exbii 1567 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
9 excom 1625 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
106, 8, 93bitr2i 207 . . . . 5 (∃𝑦𝜓 ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
112, 10bitri 183 . . . 4 (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
12 eqeq2 2125 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵))
1312imim2i 12 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)))
14 bi2 129 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴))
1514imim2i 12 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)) → ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)))
16 an31 536 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑))
1716imbi1i 237 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
18 impexp 261 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)))
19 impexp 261 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2017, 18, 193bitr3i 209 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2115, 20sylib 121 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2213, 21syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
23222alimi 1415 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
24 19.23v 1837 . . . . . . . 8 (∀𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2524albii 1429 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥(∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
26 19.21v 1827 . . . . . . 7 (∀𝑥(∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2725, 26bitri 183 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2823, 27sylib 121 . . . . 5 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2928eximdv 1834 . . . 4 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
3011, 29syl5bi 151 . . 3 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
3130imp 123 . 2 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
32 pm4.24 390 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (𝜑𝜑))
3332biimpi 119 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑𝜑))
34 anim12 339 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ (𝜑𝑤 = 𝐴)) → ((𝜑𝜑) → (𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴)))
35 eqtr3 2135 . . . . . . 7 ((𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴) → 𝑧 = 𝑤)
3633, 34, 35syl56 34 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ (𝜑𝑤 = 𝐴)) → (𝜑𝑧 = 𝑤))
3736alanimi 1418 . . . . 5 ((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤))
38 19.23v 1837 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) ↔ (∃𝑥𝜑𝑧 = 𝑤))
3938biimpi 119 . . . . . 6 (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) → (∃𝑥𝜑𝑧 = 𝑤))
4039com12 30 . . . . 5 (∃𝑥𝜑 → (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
4137, 40syl5 32 . . . 4 (∃𝑥𝜑 → ((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
4241alrimivv 1829 . . 3 (∃𝑥𝜑 → ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
4342adantl 273 . 2 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
44 eqeq1 2122 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴))
4544imbi2d 229 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → ((𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ (𝜑𝑤 = 𝐴)))
4645albidv 1778 . . 3 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)))
4746eu4 2037 . 2 (∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ (∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
4831, 43, 47sylanbrc 411 1 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1312   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  ∃!weu 1975  Vcvv 2658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-v 2660
This theorem is referenced by: (None)
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